Sıfır polinomu nedir? Test 2

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı P(x) = ax² + bx + c polinomu için P(0) = 0, P(1) = 0 ve P(-1) = 0 olduğu biliniyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) P(x) sıfır polinomudur
B) P(x) sabit polinomdur
C) P(x) birim polinomdur
D) P(x) derecesi 2 olan bir polinomdur

Bu soruyu çözmek için, verilen $P(x)$ polinomunun katsayılarını, yani $a$, $b$ ve $c$ değerlerini bulmamız gerekiyor. Bunun için bize verilen $P(0)=0$, $P(1)=0$ ve $P(-1)=0$ bilgilerini kullanacağız.

• Adım 1: $P(0)=0$ bilgisini kullanalım.

  Polinomumuz $P(x) = ax^2 + bx + c$ şeklindedir. $x$ yerine $0$ yazdığımızda sonucun $0$ olması gerektiğini biliyoruz:

  $P(0) = a(0)^2 + b(0) + c = 0$

  $0 + 0 + c = 0$

  Buradan $c = 0$ sonucunu elde ederiz.

• Adım 2: $P(1)=0$ bilgisini kullanalım.

  $c=0$ olduğunu bildiğimiz için polinomumuz artık $P(x) = ax^2 + bx$ şeklindedir. Şimdi $x$ yerine $1$ yazıp sonucu $0$'a eşitleyelim:

  $P(1) = a(1)^2 + b(1) = 0$

  $a + b = 0$

  Bu denklemden $b = -a$ sonucuna ulaşırız.

• Adım 3: $P(-1)=0$ bilgisini kullanalım.

  Yine $c=0$ ve $b=-a$ olduğunu bildiğimiz için $P(x) = ax^2 + bx$ polinomunda $x$ yerine $-1$ yazıp sonucu $0$'a eşitleyelim:

  $P(-1) = a(-1)^2 + b(-1) = 0$

  $a(1) - b = 0$

  $a - b = 0$

  Şimdi $b = -a$ eşitliğini bu denkleme yerine yazalım:

  $a - (-a) = 0$

  $a + a = 0$

  $2a = 0$

  Buradan $a = 0$ sonucunu buluruz.

• Adım 4: $b$ değerini bulalım.

  $a=0$ olduğunu bulduğumuza göre, $b = -a$ eşitliğinde $a$ yerine $0$ yazarsak:

  $b = -(0)$

  Yani $b = 0$ olur.

• Adım 5: $P(x)$ polinomunu yeniden yazalım.

  Tüm katsayıları bulduk: $a=0$, $b=0$ ve $c=0$. Şimdi bu değerleri $P(x) = ax^2 + bx + c$ polinomunda yerine yazalım:

  $P(x) = (0)x^2 + (0)x + (0)$

  $P(x) = 0$

  Bu, $P(x)$'in her $x$ değeri için $0$ olduğu anlamına gelir.

• Adım 6: Seçenekleri değerlendirelim.

  Bulduğumuz $P(x) = 0$ sonucuna göre seçenekleri inceleyelim:

  • A) P(x) sıfır polinomudur: Bir polinomun tüm katsayıları sıfır ise ve her $x$ değeri için $0$ sonucunu veriyorsa, bu polinom sıfır polinomudur. Bizim bulduğumuz $P(x)=0$ tam da bu tanıma uymaktadır.
  • B) P(x) sabit polinomdur: Sabit polinom, $P(x) = k$ şeklinde olan polinomlardır (burada $k$ bir sabittir). Sıfır polinomu da özel bir sabit polinomdur ($k=0$ durumu). Ancak "sıfır polinomu" daha özel ve doğru bir ifadedir.
  • C) P(x) birim polinomdur: Birim polinom $P(x) = x$ şeklindedir. Bizim $P(x) = 0$ olduğu için bu seçenek yanlıştır.
  • D) P(x) derecesi 2 olan bir polinomdur: Bir polinomun derecesi 2 olması için en yüksek dereceli terimin katsayısı sıfırdan farklı olmalıdır. Bizim durumumuzda $a=0$ olduğu için $x^2$ terimi yoktur, dolayısıyla derecesi 2 değildir. Bu seçenek yanlıştır.

Sonuç olarak, $P(x)$ polinomunun tüm katsayıları sıfır olduğu için bu polinom bir sıfır polinomudur.

Cevap A seçeneğidir.