\( 0.\overline{27} \) sayısı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştir?
A) Rasyonel bir sayıdır.
B) \( \frac{3}{11} \) kesrine eşittir.
C) Sonlu ondalık gösterimle de ifade edilebilir.
D) Virgülden sonra 2 ve 7 rakamları sürekli tekrar eder.
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, $0.\overline{27}$ sayısı ile ilgili verilen ifadelerden hangisinin yanlış olduğunu bulmamız isteniyor. Adım adım her seçeneği inceleyelim:
-
$0.\overline{27}$ sayısının anlamı: Bu sayı, virgülden sonra 2 ve 7 rakamlarının sürekli tekrar ettiği bir ondalık sayıdır. Yani $0.272727...$ şeklinde devam eder.
-
A) Rasyonel bir sayıdır.
- Rasyonel sayılar, $a$ bir tam sayı ve $b$ sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere $ \frac{a}{b} $ şeklinde yazılabilen sayılardır.
- Tüm devirli ondalık sayılar rasyonel sayıdır. $0.\overline{27}$ sayısını kesir olarak yazalım:
- $x = 0.\overline{27}$ olsun.
- $x = 0.272727...$
- Virgülden sonra tekrar eden basamak sayısı 2 olduğu için denklemin her iki tarafını $10^2 = 100$ ile çarparız:
- $100x = 27.272727...$
- Şimdi ikinci denklemden birinci denklemi çıkaralım:
- $100x - x = 27.272727... - 0.272727...$
- $99x = 27$
- $x = \frac{27}{99}$
- Bu kesri sadeleştirelim (hem payı hem paydayı 9'a bölelim):
- $x = \frac{3}{11}$
- Gördüğümüz gibi, $0.\overline{27}$ sayısı $ \frac{3}{11} $ şeklinde bir kesir olarak yazılabildiği için rasyonel bir sayıdır. Dolayısıyla A seçeneği doğrudur.
-
B) $ \frac{3}{11} $ kesrine eşittir.
- Yukarıdaki A seçeneğinin açıklamasında $0.\overline{27}$ sayısını kesre çevirdiğimizde $ \frac{3}{11} $ bulduk. Dolayısıyla B seçeneği de doğrudur.
-
C) Sonlu ondalık gösterimle de ifade edilebilir.
- Sonlu ondalık gösterim, virgülden sonra belirli bir sayıda basamağı olan sayılardır (örneğin $0.5$, $1.25$, $3.14$).
- $0.\overline{27}$ sayısı, virgülden sonra 27 rakamlarının sonsuz kez tekrar ettiği bir devirli ondalık sayıdır. Bu tür sayılar sonsuz ondalık gösterime sahiptir.
- Sonsuz ondalık gösterime sahip bir sayı, sonlu ondalık gösterimle ifade edilemez. Dolayısıyla C seçeneği yanlıştır.
-
D) Virgülden sonra 2 ve 7 rakamları sürekli tekrar eder.
- $0.\overline{27}$ gösterimindeki üst çizgi (devir çizgisi), çizginin altındaki rakamların (bu durumda 2 ve 7) virgülden sonra sürekli olarak tekrar ettiğini belirtir. Yani sayı $0.272727...$ şeklindedir. Dolayısıyla D seçeneği doğrudur.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, yanlış olan ifadenin C seçeneği olduğu anlaşılmıştır.
Cevap C seçeneğidir.
