Bir okulda düzenlenen geziye katılan öğrencilerin müze ve tiyatro etkinliklerine katılım durumlarını gösteren kümeli sütun grafiğinde "müzeye katılan" toplam öğrenci sayısı 28, "tiyatroya katılan" toplam öğrenci sayısı 32, "her iki etkinliğe de katılan" öğrenci sayısı 10'dur. Buna göre bu gezide en az bir etkinliğe katılan toplam öğrenci sayısı kaçtır?
A) 45
B) 50
C) 55
D) 60
Sevgili öğrenciler, bu problemde kümeler konusunu kullanarak bir geziye katılan öğrencilerin etkinliklere katılım durumlarını hesaplayacağız. Adım adım ilerleyelim ve bu tür problemleri nasıl kolayca çözebileceğimizi görelim:
- Verilen Bilgileri Anlayalım:
- Müzeye katılan toplam öğrenci sayısı (M kümesi) = $28$
- Tiyatroya katılan toplam öğrenci sayısı (T kümesi) = $32$
- Hem müzeye hem de tiyatroya katılan öğrenci sayısı (M ve T kümelerinin kesişimi) = $10$
- Bizden İstenen Nedir?
- "En az bir etkinliğe katılan" toplam öğrenci sayısı isteniyor. Bu ifade, ya sadece müzeye, ya sadece tiyatroya ya da her iki etkinliğe birden katılan öğrencilerin toplamını bulmamız gerektiği anlamına gelir. Kümeler dilinde bu, M ve T kümelerinin birleşimi ($M \cup T$) demektir.
- Hangi Formülü Kullanacağız?
- İki kümenin birleşiminin eleman sayısını bulmak için standart bir formülümüz vardır. Bu formül, her iki kümenin eleman sayılarını toplar ve ardından kesişim kümesinin eleman sayısını bir kez çıkarırız. Neden mi çıkarırız? Çünkü kesişimdeki öğrenciler, hem M kümesinde hem de T kümesinde sayıldığı için iki kere sayılmış olurlar. Bu fazlalığı düzeltmek için bir kez çıkarırız.
- Formülümüz şöyledir: $|M \cup T| = |M| + |T| - |M \cap T|$
- Burada:
- $|M \cup T|$: En az bir etkinliğe katılan öğrenci sayısı (M ve T kümelerinin birleşimi)
- $|M|$: Müzeye katılan öğrenci sayısı
- $|T|$: Tiyatroya katılan öğrenci sayısı
- $|M \cap T|$: Hem müzeye hem de tiyatroya katılan öğrenci sayısı (M ve T kümelerinin kesişimi)
- Formülü Uygulayalım ve Çözüme Ulaşalım:
- Şimdi verilen sayıları formülde yerine yazalım:
- $|M \cup T| = 28 + 32 - 10$
- Önce toplama işlemini yapalım:
- $28 + 32 = 60$
- Şimdi de çıkarma işlemini yapalım:
- $60 - 10 = 50$
- Yani, bu gezide en az bir etkinliğe katılan toplam öğrenci sayısı $50$'dir. Gördüğünüz gibi, doğru formülü kullanarak bu tür problemleri çözmek çok kolay!
Cevap B seçeneğidir.
