\(x^2 - 14x + c = 0\) denkleminin tam kare olması için c kaç olmalıdır?
A) 14Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, verilen ikinci dereceden bir denklemin tam kare olması için $c$ sabitinin kaç olması gerektiğini bulacağız. Bir ifadenin tam kare olması ne demek, önce onu hatırlayalım.
Bir tam kare ifade, bir binomun karesi şeklinde yazılabilen bir cebirsel ifadedir. İki temel tam kare formülü vardır:
1. $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
2. $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$
Bizim denklemimiz $x^2 - 14x + c = 0$ olduğu için, ortadaki terim ($-14x$) negatif işaretli. Bu durumda, denklemin $(A-B)^2$ formuna daha uygun olduğunu düşünebiliriz.
Şimdi, $x^2 - 14x + c$ ifadesini $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ formülü ile adım adım karşılaştıralım:
1. $A^2$ terimi, denklemimizdeki $x^2$ terimi ile eşleşiyor. Buradan $A = x$ sonucunu çıkarırız.
2. $-2AB$ terimi, denklemimizdeki $-14x$ terimi ile eşleşiyor. $A=x$ olduğunu bildiğimiz için, bu eşitlik $-2xB = -14x$ şeklini alır.
3. $B^2$ terimi ise, denklemimizdeki $c$ sabiti ile eşleşiyor. Yani $c = B^2$ olmalıdır.
İkinci adımdaki eşitliği kullanarak $B$ değerini bulalım:
$-2xB = -14x$
Her iki tarafı $-2x$ ile bölersek (matematiksel olarak $x \neq 0$ kabul ederek):
$B = \frac{-14x}{-2x}$
$B = 7$ sonucunu elde ederiz.
Üçüncü adımdaki eşitliğe göre $c = B^2$ idi. $B=7$ bulduğumuza göre, $c$ değerini kolayca hesaplayabiliriz:
$c = 7^2$
$c = 49$
Eğer $c=49$ olursa, denklemimiz $x^2 - 14x + 49 = 0$ şeklini alır. Bu ifadeyi $(x-7)^2$ olarak yazabiliriz, çünkü $(x-7)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = x^2 - 14x + 49$. Görüldüğü gibi, $c=49$ olduğunda denklem tam kare bir ifadeye dönüşüyor.
Bu adımları takip ederek, denklemin tam kare olması için $c$ değerinin $49$ olması gerektiğini bulduk.
Cevap C seçeneğidir.
