10. Sınıf Bayes Teoremi Nedir? Test 2

8. Bir hastanede COVID-19 testi yapılmaktadır. Testin duyarlılığı %90, özgüllüğü %95'tir. Toplumda hastalık prevalansı %5 olduğuna göre, testi pozitif çıkan birinin gerçekten hasta olmama olasılığı nedir?

A) %25
B) %40
C) %55
D) %65

Bu tür sorular, tıbbi testlerin sonuçlarını doğru yorumlamak için oldukça önemlidir. Adım adım ilerleyerek bu olasılığı birlikte hesaplayalım.

• Adım 1: Temel Kavramları Anlayalım
  • Prevalans: Toplumda hastalığın yaygınlık oranıdır. Burada %5 olarak verilmiş, yani her 100 kişiden 5'i hasta.
  • Duyarlılık (Sensitivity): Hasta olan bir kişinin testinin pozitif çıkma olasılığıdır. %90 olarak verilmiş, yani hasta olan 100 kişiden 90'ının testi doğru sonuç verir (pozitif çıkar).
  • Özgüllük (Specificity): Sağlıklı olan bir kişinin testinin negatif çıkma olasılığıdır. %95 olarak verilmiş, yani sağlıklı olan 100 kişiden 95'inin testi doğru sonuç verir (negatif çıkar).
  • Sorulan: Testi pozitif çıkan birinin gerçekten hasta olmama olasılığı. Yani, pozitif test sonucuna rağmen aslında sağlıklı olma olasılığı nedir?
• Adım 2: Varsayımsal Bir Popülasyon Belirleyelim
  • Hesaplamaları kolaylaştırmak için, 10.000 kişilik bir popülasyon üzerinde çalıştığımızı varsayalım.
• Adım 3: Popülasyonu Hasta ve Sağlıklı Olarak Ayıralım
  • Hastalık prevalansı %5 olduğuna göre:
    • Hasta sayısı: $10.000 \times 0.05 = 500$ kişi
    • Sağlıklı sayısı: $10.000 - 500 = 9.500$ kişi
• Adım 4: Hastaların Test Sonuçlarını Belirleyelim
  • Duyarlılık %90'dır. Yani hasta olan 500 kişinin %90'ının testi pozitif çıkar:
    • Testi Pozitif Çıkan Hastalar (Gerçek Pozitifler): $500 \times 0.90 = 450$ kişi
    • Testi Negatif Çıkan Hastalar (Yanlış Negatifler): $500 \times (1 - 0.90) = 500 \times 0.10 = 50$ kişi
• Adım 5: Sağlıklıların Test Sonuçlarını Belirleyelim
  • Özgüllük %95'tir. Yani sağlıklı olan 9.500 kişinin %95'inin testi negatif çıkar.
  • Bu durumda, sağlıklı olanların testi pozitif çıkma olasılığı (Yanlış Pozitif Oranı) $1 - \text{Özgüllük} = 1 - 0.95 = 0.05$ (%5) olur:
    • Testi Pozitif Çıkan Sağlıklılar (Yanlış Pozitifler): $9.500 \times 0.05 = 475$ kişi
    • Testi Negatif Çıkan Sağlıklılar (Gerçek Negatifler): $9.500 \times 0.95 = 9.025$ kişi
• Adım 6: Toplam Pozitif Test Sonuçlarını Bulalım
  • Testi pozitif çıkan toplam kişi sayısı, Gerçek Pozitifler ile Yanlış Pozitiflerin toplamıdır:
    • Toplam Pozitif Test Sayısı: $450 (\text{Hasta ve Test+}) + 475 (\text{Sağlıklı ve Test+}) = 925$ kişi
• Adım 7: İstenen Olasılığı Hesaplayalım
  • Soru, "testi pozitif çıkan birinin gerçekten hasta olmama olasılığı"nı soruyor. Bu, testi pozitif çıkanlar arasında aslında sağlıklı olanların oranıdır:
    • Testi Pozitif Çıkıp Gerçekten Hasta Olmayanlar (Yanlış Pozitifler): $475$ kişi
    • İstenen Olasılık: $\frac{\text{Yanlış Pozitifler}}{\text{Toplam Pozitif Test Sayısı}}$
    • Olasılık: $\frac{475}{925}$
• Adım 8: Sonucu Yüzde Olarak İfade Edelim
  • $\frac{475}{925} \approx 0.5135$
  • Yüzde olarak ifade edersek: $0.5135 \times 100\% \approx 51.35\%$
  • Verilen seçeneklere baktığımızda, en yakın değer %55'tir.

Cevap C seçeneğidir.