9. Sınıf Algoritmik Yapılar İçerisindeki Mantık Bağlaçları ve Niceleyiciler Nedir? Test 2

A = {1, 2, 3, 4} kümesi veriliyor. ∀x ∈ A, x < 5 önermesi için ne söylenebilir?

A) Yanlıştır çünkü 4 < 5 değildir
B) Doğrudur çünkü kümenin tüm elemanları 5'ten küçüktür
C) Yanlıştır çünkü 1 < 5 değildir
D) Doğru değildir çünkü niceleyici yanlış kullanılmıştır

Bu soruyu çözmek için, verilen önermenin ne anlama geldiğini ve kümenin elemanlarını tek tek incelememiz gerekiyor.

• Verilen küme $A = \{1, 2, 3, 4\}$'tür.
• Verilen önerme $\forall x \in A, x < 5$'tir.
• Buradaki $\forall$ sembolü, evrensel niceleyici olarak adlandırılır ve "her $x$ için" veya "tüm $x$'ler için" anlamına gelir.
• Yani, önerme "A kümesindeki her $x$ elemanı için, $x$ sayısı 5'ten küçüktür" demektir.
• Bu önermenin doğru olabilmesi için, A kümesindeki tüm elemanların $x < 5$ koşulunu sağlaması gerekir. Eğer kümeden tek bir eleman bile bu koşulu sağlamazsa, önerme yanlış olur.
• Şimdi A kümesindeki her bir elemanı tek tek kontrol edelim:
• $x = 1$ için: $1 < 5$ midir? Evet, doğrudur.
• $x = 2$ için: $2 < 5$ midir? Evet, doğrudur.
• $x = 3$ için: $3 < 5$ midir? Evet, doğrudur.
• $x = 4$ için: $4 < 5$ midir? Evet, doğrudur.
• Gördüğümüz gibi, A kümesindeki tüm elemanlar ($1, 2, 3, 4$) 5'ten küçüktür. Bu nedenle, $\forall x \in A, x < 5$ önermesi doğrudur.
• Şimdi seçenekleri değerlendirelim:
• A) Yanlıştır çünkü $4 < 5$ değildir: Bu ifade yanlıştır çünkü $4 < 5$ doğru bir eşitsizliktir.
• B) Doğrudur çünkü kümenin tüm elemanları 5'ten küçüktür: Bu ifade, yaptığımız analizle tamamen örtüşmektedir. Önerme doğrudur ve nedeni de kümenin tüm elemanlarının 5'ten küçük olmasıdır.
• C) Yanlıştır çünkü $1 < 5$ değildir: Bu ifade yanlıştır çünkü $1 < 5$ doğru bir eşitsizliktir.
• D) Doğru değildir çünkü niceleyici yanlış kullanılmıştır: Niceleyici ($\forall$) burada doğru bir şekilde kullanılmıştır ve önermenin mantıksal yapısında bir hata yoktur.

Cevap B seçeneğidir.