10. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Karekök Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Test 1

f(x) = √(9-x²) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?

A) x eksenini (3,0) ve (-3,0) noktalarında kesen bir parabol
B) Merkezi orijinde olan ve yarıçapı 3 birim olan çemberin üst yarısı
C) Birinci bölgede artan bir doğru
D) İkinci ve üçüncü bölgelerde yer alan bir hiperbol

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bize verilen bir fonksiyonun grafiğini tanımamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu fonksiyonun grafiğini birlikte bulalım.

• Öncelikle, verilen fonksiyonu inceleyelim: $f(x) = \sqrt{9-x^2}$.

• Bir fonksiyonun grafiğini çizerken genellikle $y = f(x)$ eşitliğini kullanırız. Bu durumda, $y = \sqrt{9-x^2}$ olur.

• Kareköklü bir ifadenin tanımlı olabilmesi için kökün içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Yani, $9-x^2 \ge 0$ olmalıdır. Bu eşitsizliği çözersek:

  • $9 \ge x^2$
  • $\sqrt{9} \ge \sqrt{x^2}$
  • $3 \ge |x|$
  • Bu da $-3 \le x \le 3$ anlamına gelir. Fonksiyonun tanım kümesi $[-3, 3]$ aralığıdır.

• Şimdi $y = \sqrt{9-x^2}$ denklemini daha tanıdık bir forma dönüştürelim. Her iki tarafın karesini alalım:

  • $y^2 = (\sqrt{9-x^2})^2$
  • $y^2 = 9-x^2$

• $x^2$ terimini sol tarafa atarsak:

  • $x^2 + y^2 = 9$

• Bu denklem, merkezi orijinde $(0,0)$ olan ve yarıçapı $r$ olan bir çemberin standart denklemidir ($x^2 + y^2 = r^2$). Bizim denklemimizde $r^2 = 9$ olduğu için, yarıçap $r = \sqrt{9} = 3$ birimdir.

• Ancak, başlangıçtaki fonksiyonumuz $y = \sqrt{9-x^2}$ idi. Karekök sembolü ($\sqrt{\cdot}$) her zaman pozitif veya sıfır değerini verir. Bu nedenle, $y$ değeri her zaman $y \ge 0$ olmalıdır.

• Bu durum, $x^2 + y^2 = 9$ denkleminin temsil ettiği tam çemberin sadece üst kısmını (yani $y$ değerlerinin pozitif veya sıfır olduğu kısmı) almamız gerektiği anlamına gelir.

• Sonuç olarak, $f(x) = \sqrt{9-x^2}$ fonksiyonunun grafiği, merkezi orijinde olan ve yarıçapı 3 birim olan çemberin üst yarısıdır.

• Şimdi seçenekleri inceleyelim:

  • A) x eksenini $(3,0)$ ve $(-3,0)$ noktalarında kesen bir parabol: Bu bir parabol denklemi değildir.
  • B) Merkezi orijinde olan ve yarıçapı 3 birim olan çemberin üst yarısı: Bu bizim bulduğumuz sonuçla tamamen eşleşmektedir.
  • C) Birinci bölgede artan bir doğru: Bu bir doğru denklemi değildir.
  • D) İkinci ve üçüncü bölgelerde yer alan bir hiperbol: Bu bir hiperbol denklemi değildir.

Cevap B seçeneğidir.