Kenar orta dikme nedir Test 2

Bir ABC üçgeninin kenar orta dikmeleri O noktasında kesişmektedir. m(∠AOB) = 120° ve |AB| = 8√3 cm olduğuna göre, üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı kaç cm'dir?

A) 4
B) 6
C) 8
D) 12

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda bir üçgenin kenar orta dikmeleri ve çevrel çemberi arasındaki ilişkiyi kullanarak bir uzunluk bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Kenar Orta Dikme ve Çevrel Çember İlişkisi:

  Bir üçgende kenar orta dikmelerin kesişim noktası, o üçgenin çevrel çemberinin merkezidir. Soruda bu noktanın $O$ olduğu belirtilmiş. Bu durumda $O$ noktası, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezidir.

  Çevrel çemberin merkezi, üçgenin köşelerine eşit uzaklıktadır. Bu uzaklık, çevrel çemberin yarıçapıdır ($R$). Yani, $|OA| = |OB| = |OC| = R$ olacaktır.

• 2. $AOB$ Üçgenini İnceleyelim:

  Elimizde $AOB$ üçgeni var. Bu üçgende $|OA| = |OB| = R$ olduğu için, $AOB$ üçgeni bir ikizkenar üçgendir. Soruda $m(\angle AOB) = 120^\circ$ ve $|AB| = 8\sqrt{3}$ cm olarak verilmiş.

• 3. Çevrel Çember Yarıçapını ($R$) Bulma:

  İkizkenar $AOB$ üçgeninde $R$ değerini bulmak için farklı yöntemler kullanabiliriz. En pratik yöntemlerden biri, $O$ noktasından $AB$ kenarına bir dikme indirmektir. Bu dikme, $AB$ kenarını ortalayacaktır. Bu dikmenin $AB$ kenarını kestiği noktaya $M$ diyelim.

  • $OM \perp AB$ olduğu için $\triangle OMA$ bir dik üçgendir.
  • $M$ noktası $AB$ kenarının orta noktasıdır. Bu durumda $|AM| = |MB| = \frac{|AB|}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ cm olur.
  • $OM$ aynı zamanda $\angle AOB$'nin açıortayıdır. Dolayısıyla $m(\angle AOM) = m(\angle BOM) = \frac{m(\angle AOB)}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$ olur.
  • Şimdi $\triangle OMA$ dik üçgenine odaklanalım. Bu üçgende $m(\angle AOM) = 60^\circ$, $|AM| = 4\sqrt{3}$ cm ve hipotenüs $|OA| = R$'dir.
  • Trigonometrik oranları kullanarak $R$'yi bulabiliriz:

    $\sin(m(\angle AOM)) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Hipotenüs}}$

    $\sin(60^\circ) = \frac{|AM|}{|OA|}$

    $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{R}$

    Şimdi $R$'yi yalnız bırakalım:

    $R \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 4\sqrt{3}$

    $R \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$

    $R = 8$ cm

Böylece üçgenin çevrel çemberinin yarıçapını $8$ cm olarak bulmuş olduk.

Cevap C seçeneğidir.