Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri diğerlerinden farklıdır?
A) \( p \veebar p \)
B) \( p \veebar \lnot p \)
C) \( (p \veebar q) \veebar p \)
D) \( (p \veebar q) \veebar q \)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bileşik önermelerin doğruluk değerlerini inceleyerek, hangisinin doğruluk değerinin diğerlerinden farklı olduğunu bulmamız isteniyor. Bunun için öncelikle "özel veya" ($\veebar$) bağlacının özelliklerini hatırlayalım. Özel veya bağlacı, iki önermenin doğruluk değerleri birbirinden farklı olduğunda doğru (1), aynı olduğunda ise yanlış (0) değerini alır.
- A) $p \veebar p$ önermesinin doğruluk değerini bulalım:
- Eğer $p$ önermesi doğru (1) ise, $1 \veebar 1$ olur. Özel veya bağlacına göre, aynı doğruluk değerine sahip önermeler yanlış (0) sonucunu verir. Yani $1 \veebar 1 = 0$.
- Eğer $p$ önermesi yanlış (0) ise, $0 \veebar 0$ olur. Yine aynı doğruluk değerine sahip önermeler yanlış (0) sonucunu verir. Yani $0 \veebar 0 = 0$.
- Sonuç olarak, $p \veebar p$ önermesinin doğruluk değeri $p$'nin değerinden bağımsız olarak her zaman 0 (Yanlış)'tır. Bu bir çelişkidir.
- B) $p \veebar \lnot p$ önermesinin doğruluk değerini bulalım:
- Eğer $p$ önermesi doğru (1) ise, $\lnot p$ önermesi yanlış (0) olur. Bu durumda $1 \veebar 0$ olur. Özel veya bağlacına göre, farklı doğruluk değerine sahip önermeler doğru (1) sonucunu verir. Yani $1 \veebar 0 = 1$.
- Eğer $p$ önermesi yanlış (0) ise, $\lnot p$ önermesi doğru (1) olur. Bu durumda $0 \veebar 1$ olur. Yine farklı doğruluk değerine sahip önermeler doğru (1) sonucunu verir. Yani $0 \veebar 1 = 1$.
- Sonuç olarak, $p \veebar \lnot p$ önermesinin doğruluk değeri $p$'nin değerinden bağımsız olarak her zaman 1 (Doğru)'dir. Bu bir totolojidir.
- C) $(p \veebar q) \veebar p$ önermesinin doğruluk değerini bulalım:
- Özel veya bağlacının bazı önemli özelliklerini hatırlayalım:
- $A \veebar A \equiv 0$ (Bir önermenin kendisiyle özel veya'sı her zaman yanlıştır.)
- $A \veebar 0 \equiv A$ (Bir önermenin yanlış önermeyle özel veya'sı, o önermenin kendisine denktir.)
- Özel veya bağlacı birleşme özelliğine sahiptir: $(A \veebar B) \veebar C \equiv A \veebar (B \veebar C)$.
- Özel veya bağlacı değişme özelliğine sahiptir: $A \veebar B \equiv B \veebar A$.
- Verilen ifadeyi bu özellikleri kullanarak düzenleyelim:
$ (p \veebar q) \veebar p \equiv (p \veebar p) \veebar q $ (Değişme ve birleşme özelliğini kullandık)
- Yukarıda bulduğumuz gibi $p \veebar p \equiv 0$'dır. O halde:
$ (p \veebar p) \veebar q \equiv 0 \veebar q $
- Ve $0 \veebar q \equiv q$'dur.
- Sonuç olarak, $(p \veebar q) \veebar p$ önermesinin doğruluk değeri her zaman $q$ önermesine denktir. Yani $q$ doğru ise doğru, yanlış ise yanlıştır.
- D) $(p \veebar q) \veebar q$ önermesinin doğruluk değerini bulalım:
- Yine özel veya bağlacının özelliklerini kullanarak düzenleyelim:
$ (p \veebar q) \veebar q \equiv p \veebar (q \veebar q) $ (Birleşme özelliğini kullandık)
- Yukarıda bulduğumuz gibi $q \veebar q \equiv 0$'dır. O halde:
$ p \veebar (q \veebar q) \equiv p \veebar 0 $
- Ve $p \veebar 0 \equiv p$'dir.
- Sonuç olarak, $(p \veebar q) \veebar q$ önermesinin doğruluk değeri her zaman $p$ önermesine denktir. Yani $p$ doğru ise doğru, yanlış ise yanlıştır.
Şimdi bulduğumuz sonuçları karşılaştıralım:
- A) $p \veebar p \equiv 0$ (Her zaman yanlış)
- B) $p \veebar \lnot p \equiv 1$ (Her zaman doğru)
- C) $(p \veebar q) \veebar p \equiv q$ (Doğruluk değeri $q$'ya bağlı olarak değişir, yani hem doğru hem yanlış olabilir)
- D) $(p \veebar q) \veebar q \equiv p$ (Doğruluk değeri $p$'ye bağlı olarak değişir, yani hem doğru hem yanlış olabilir)
Görüldüğü gibi, A seçeneğindeki önerme her zaman yanlış (0) iken, B seçeneğindeki önerme her zaman doğru (1)'dir. C ve D seçeneklerindeki önermelerin doğruluk değerleri ise $p$ ve $q$ önermelerinin değerlerine göre değişebilir (yani hem 0 hem 1 olabilirler). Bu durumda, A seçeneği diğerlerinden farklıdır çünkü sadece A seçeneği her zaman yanlış olan bir çelişkidir.
Cevap A seçeneğidir.
