\( p: "x > 5" \) ve \( q: "x < 10" \) önermeleri veriliyor. Buna göre, \( p \veebar q \) önermesinin doğru olduğu x değerleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) x sadece 5 ile 10 arasındadır
B) x sadece 5'ten küçük veya 10'dan büyüktür
C) x hem 5'ten büyük hem de 10'dan küçüktür
D) x = 5 veya x = 10'dur
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, mantık önermeleri ve eşitsizlikler konusunu birleştirerek bir problem çözeceğiz. Adım adım ilerleyelim ve konuyu iyice anlayalım.
- 1. Önermeleri Anlayalım:
- Bize iki önerme verilmiş:
- $p: "x > 5"$ (x, 5'ten büyüktür)
- $q: "x < 10"$ (x, 10'dan küçüktür)
- 2. $\veebar$ (Özel VEYA) Bağlacını Tanıyalım:
- Soruda $p \veebar q$ önermesinin doğru olduğu durumlar soruluyor. Buradaki "$\veebar$" sembolü, "özel veya" (exclusive OR - XOR) bağlacını temsil eder.
- Bir $A \veebar B$ önermesi, sadece ve sadece $A$ doğru iken $B$ yanlışsa VEYA $A$ yanlış iken $B$ doğruysa doğrudur. Yani, iki önermeden tam olarak biri doğru olduğunda sonuç doğrudur.
- Eğer her iki önerme de doğruysa veya her iki önerme de yanlışsa, $A \veebar B$ önermesi yanlıştır.
- 3. $p \veebar q$ Önermesinin Doğru Olması İçin Durumları İnceleyelim:
- $p \veebar q$ önermesinin doğru olması için iki farklı durum vardır:
- $p$ doğru VE $q$ yanlış olmalı.
- $p$ yanlış VE $q$ doğru olmalı.
- 4. Birinci Durumu Analiz Edelim ($p$ doğru VE $q$ yanlış):
- $p$ doğru ise: $x > 5$
- $q$ yanlış ise: $x < 10$ önermesi yanlış demektir. Bir önermenin yanlışı, onun değilidir. Yani $x < 10$ yanlışsa, $x \ge 10$ doğrudur.
- Bu iki koşulu birleştirelim: $x > 5$ VE $x \ge 10$.
- Hem 5'ten büyük hem de 10'dan büyük veya eşit olan sayılar, 10'dan büyük veya eşit olan sayılardır. Yani bu durumdan $x \ge 10$ sonucunu elde ederiz.
- 5. İkinci Durumu Analiz Edelim ($p$ yanlış VE $q$ doğru):
- $p$ yanlış ise: $x > 5$ önermesi yanlış demektir. Yani $x \le 5$ doğrudur.
- $q$ doğru ise: $x < 10$
- Bu iki koşulu birleştirelim: $x \le 5$ VE $x < 10$.
- Hem 5'ten küçük veya eşit hem de 10'dan küçük olan sayılar, 5'ten küçük veya eşit olan sayılardır. Yani bu durumdan $x \le 5$ sonucunu elde ederiz.
- 6. Sonuçları Birleştirelim:
- $p \veebar q$ önermesinin doğru olduğu $x$ değerleri için, ya birinci durum ($x \ge 10$) ya da ikinci durum ($x \le 5$) geçerli olmalıdır.
- Yani, $x \le 5$ veya $x \ge 10$ olmalıdır.
- 7. Seçenekleri Değerlendirelim:
- Bulduğumuz çözüm kümesi $x \le 5$ veya $x \ge 10$ şeklindedir. Şimdi seçenekleri bu bilgiyle karşılaştıralım:
- A) x sadece 5 ile 10 arasındadır ($5 < x < 10$). Bu aralıkta hem $p$ ($x > 5$) hem de $q$ ($x < 10$) doğru olduğu için $p \veebar q$ yanlış olur (doğru $\veebar$ doğru = yanlış). Dolayısıyla A seçeneği yanlıştır.
- B) x sadece 5'ten küçük veya 10'dan büyüktür ($x < 5$ veya $x > 10$). Bu ifade, bizim bulduğumuz çözüm kümesinin ana aralıklarını kapsar. $x=5$ ve $x=10$ noktaları bu seçenekte belirtilmemiş olsa da, bu aralıklar $p \veebar q$ önermesinin doğru olduğu temel bölgelerdir.
- C) x hem 5'ten büyük hem de 10'dan küçüktür ($5 < x < 10$). Bu da A seçeneği ile aynıdır ve yanlıştır.
- D) x = 5 veya x = 10'dur. Bu değerler $p \veebar q$ önermesini doğru yapar (örneğin $x=5$ için $p$ yanlış, $q$ doğru; $x=10$ için $p$ doğru, $q$ yanlış), ancak çözüm kümesinin tamamını ifade etmez.
- Seçenekler arasında, $p \veebar q$ önermesinin doğru olduğu $x$ değerlerini en genel ve doğru şekilde ifade eden B seçeneğidir.
Cevap B seçeneğidir.
