Mantık ya da bağlacı (p ⊻ q) Test 2

\( p \veebar (q \veebar r) \) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?

A) \( (p \veebar q) \veebar r \)
B) \( p \veebar q \veebar r \)
C) \( p \Leftrightarrow (q \Leftrightarrow r) \)
D) \( (p \land q \land r) \lor (\lnot p \land \lnot q \land \lnot r) \)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, mantıkta çok önemli bir bağlaç olan "özel veya" (exclusive OR - XOR) bağlacının özelliklerinden birini inceleyeceğiz. Özel veya bağlacı, iki önermeden sadece biri doğru olduğunda doğru sonuç veren bir bağlaçtır. Sembolü $ \veebar $ şeklindedir.

• Özel Veya (XOR) Bağlacı ($ \veebar $) Nedir?

  İki önerme, diyelim ki $p$ ve $q$, için $p \veebar q$ önermesi, $p$ doğru ve $q$ yanlış olduğunda VEYA $p$ yanlış ve $q$ doğru olduğunda doğrudur. Her ikisi de doğru veya her ikisi de yanlış olduğunda ise yanlıştır. Kısacası, önermelerden tek bir tanesi doğruysa sonuç doğrudur.

  Örnek olarak, $p \veebar q$ için doğruluk tablosu şöyledir:

  $p$	$q$	$p \veebar q$
  D	D	Y
  D	Y	D
  Y	D	D
  Y	Y	Y

  (D: Doğru, Y: Yanlış)

• Bir Bağlacın Birleşme (Associativity) Özelliği Nedir?

  Bir bağlacın birleşme özelliği, üç veya daha fazla önerme üzerinde işlem yaparken parantezlerin yerinin sonucunu değiştirmediği anlamına gelir. Yani, $ (p \text{ bağlaç } q) \text{ bağlaç } r $ ile $ p \text{ bağlaç } (q \text{ bağlaç } r) $ önermelerinin birbirine denk olması durumudur.

• $ \veebar $ Bağlacının Birleşme Özelliğini İnceleyelim

  Şimdi, $ p \veebar (q \veebar r) $ önermesinin neye denk olduğunu bulmak için bir doğruluk tablosu oluşturalım. Aynı zamanda A seçeneğindeki $ (p \veebar q) \veebar r $ önermesinin de doğruluk tablosunu oluşturup karşılaştıralım.

  $p$	$q$	$r$	$q \veebar r$	$p \veebar (q \veebar r)$	$p \veebar q$	$(p \veebar q) \veebar r$
  D	D	D	Y	D	Y	D
  D	D	Y	D	Y	Y	Y
  D	Y	D	D	Y	D	Y
  D	Y	Y	Y	D	D	D
  Y	D	D	Y	Y	D	Y
  Y	D	Y	D	D	D	D
  Y	Y	D	D	D	Y	D
  Y	Y	Y	Y	Y	Y	Y

  Doğruluk tablosunu incelediğimizde, $p \veebar (q \veebar r)$ sütunu ile $(p \veebar q) \veebar r$ sütununun tamamen aynı olduğunu görüyoruz. Bu, özel veya bağlacının birleşme özelliğine sahip olduğunu gösterir.

  Yani, $ p \veebar (q \veebar r) \equiv (p \veebar q) \veebar r $.

• Diğer Seçeneklerin İncelenmesi
  • B) $ p \veebar q \veebar r $: Bu gösterim, özel veya bağlacının birleşme özelliğine sahip olduğunu varsaydığı için, aslında A seçeneği ile aynı anlamı taşır. Ancak soruda parantezli bir ifadeye denk olanı sorulduğu için A seçeneği daha uygun bir eşleşmedir.
  • C) $ p \Leftrightarrow (q \Leftrightarrow r) $: Bu ifade, "ancak ve ancak" (biconditional) bağlacını kullanır. Özel veya bağlacı, ancak ve ancak bağlacının değili gibidir ($p \veebar q \equiv \lnot (p \Leftrightarrow q)$). Dolayısıyla bu ifade, verilen önermeye denk değildir. $p \veebar q \veebar r$ önermesi, $p, q, r$ önermelerinden tek sayıda doğrusu olduğunda doğrudur. $p \Leftrightarrow (q \Leftrightarrow r)$ önermesi ise $p, q, r$ önermelerinden çift sayıda doğrusu olduğunda doğrudur (veya üçü de doğru olduğunda). Bu yüzden birbirlerinin değilleridir.
  • D) $ (p \land q \land r) \lor (\lnot p \land \lnot q \land \lnot r) $: Bu ifade, tüm önermelerin doğru olması VEYA tüm önermelerin yanlış olması durumunda doğrudur. Bu da $p \veebar (q \veebar r)$ önermesine denk değildir. Örneğin, $p=D, q=D, r=Y$ iken $p \veebar (q \veebar r)$ yanlıştır, ancak D seçeneği de yanlıştır. Fakat $p=D, q=Y, r=Y$ iken $p \veebar (q \veebar r)$ doğrudur, D seçeneği ise yanlıştır.

Sonuç olarak, özel veya ($ \veebar $) bağlacı birleşme özelliğine sahiptir. Bu nedenle, parantezlerin yerinin değiştirilmesi önermenin doğruluk değerini değiştirmez.

Cevap A seçeneğidir.