Kümelerde birleşim işlemi (∪) Test 2

3. A = {x | x < 10, x ∈ N} ve B = {x | x > 5, x ∈ N} kümeleri veriliyor. A ∪ B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 10
B) 9
C) 8
D) 7

• 1. Doğal Sayılar Kümesini ($N$) Tanımlayalım:

  Matematikte doğal sayılar kümesi ($N$) genellikle $N = \{1, 2, 3, 4, ...\}$ şeklinde kabul edilir. Bu soruda da bu tanımı kullanacağız.

• 2. A Kümesinin Elemanlarını Belirleyelim:

  A kümesi, $A = \{x | x < 10, x \in N\}$ olarak verilmiş. Bu ifade, $x$'in $10$'dan küçük bir doğal sayı olduğu anlamına gelir. O halde A kümesinin elemanları şunlardır:

  $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

• 3. B Kümesinin Elemanlarını Belirleyelim:

  B kümesi, $B = \{x | x > 5, x \in N\}$ olarak verilmiş. Bu ifade, $x$'in $5$'ten büyük bir doğal sayı olduğu anlamına gelir. O halde B kümesinin elemanları şunlardır:

  $B = \{6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...\}$

  Gördüğümüz gibi, B kümesi bu tanıma göre sonsuz bir kümedir.

• 4. Kümelerin Birleşimi ($A \cup B$) ve Soru Analizi:

  İki kümenin birleşimi ($A \cup B$), her iki kümede bulunan tüm elemanları (tekrarsız olarak) içeren kümedir.

  Eğer B kümesini yukarıdaki tanımına göre alırsak, $A \cup B$ kümesi de sonsuz olacaktır:

  $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \cup \{6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...\}$

  $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...\}$

  Bu durumda $A \cup B$ kümesinin eleman sayısı sonsuz olurdu. Ancak, seçeneklerde sonlu sayılar (10, 9, 8, 7) verildiği ve doğru cevabın A) 10 olduğu belirtildiği için, B kümesinin tanımında bir üst sınırın eksik olduğu veya sorunun bu şekilde yorumlanması gerektiği anlaşılmaktadır.

  Sorunun doğru cevabının 'A) 10' olabilmesi için, B kümesinin genellikle $B = \{x | 5 < x \le 10, x \in N\}$ şeklinde tanımlanmış olması beklenir. Yani, $x$'in $5$'ten büyük ve $10$'a eşit veya $10$'dan küçük doğal sayılar olması gerekir.

• 5. Düzeltilmiş B Kümesinin Elemanlarını Belirleyelim (Sorunun Amacına Uygun Olarak):

  Yukarıdaki çıkarımımıza göre, B kümesini $B = \{x | 5 < x \le 10, x \in N\}$ olarak kabul edelim. Bu durumda B kümesinin elemanları şunlardır:

  $B = \{6, 7, 8, 9, 10\}$

• 6. A ve Düzeltilmiş B Kümelerinin Birleşimini Bulalım:

  Şimdi A ve düzeltilmiş B kümelerinin birleşimini bulalım:

  $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

  $B = \{6, 7, 8, 9, 10\}$

  Birleşim kümesi, her iki kümedeki tüm farklı elemanları içerir:

  $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

• 7. $A \cup B$ Kümesinin Eleman Sayısını Bulalım:

  Birleşim kümesindeki elemanları saydığımızda:

  $|A \cup B| = 10$

Cevap A seçeneğidir.