Cebir nedir Test 2

\(a\) ve \(b\) gerçel sayıları için \(a^2 + b^2 = 25\) ve \(a \cdot b = 12\) olduğuna göre, \(a + b\) toplamının pozitif değeri kaçtır?

A) 5
B) 6
C) 7
D) 8

Sevgili öğrenciler, bu tür soruları çözerken genellikle bilinen cebirsel özdeşliklerden faydalanırız. Burada $a+b$ toplamını bulmamız istendiği için, $(a+b)^2$ özdeşliğinin bize yardımcı olabileceğini düşünebiliriz.

• Adım 1: Kullanacağımız özdeşliği belirleyelim.

  Bizden $a+b$ değerini bulmamız isteniyor. Elimizde $a^2 + b^2$ ve $a \cdot b$ değerleri var. Bu üç ifadeyi bir araya getiren en temel özdeşliklerden biri $(a+b)^2$ özdeşliğidir:

  $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

  Bu özdeşliği, verilen değerleri daha rahat kullanabilmek için biraz farklı şekilde yazabiliriz:

  $(a+b)^2 = (a^2 + b^2) + 2ab$

• Adım 2: Verilen değerleri özdeşlikte yerine yazalım.

  Soruda bize $a^2 + b^2 = 25$ ve $a \cdot b = 12$ olarak verilmişti. Şimdi bu değerleri yukarıdaki özdeşlikte yerine koyalım:

  $(a+b)^2 = (25) + 2(12)$

• Adım 3: İşlemleri yapalım ve $(a+b)^2$ değerini bulalım.

  Denklemdeki çarpma ve toplama işlemlerini sırasıyla yapalım:

  $(a+b)^2 = 25 + 24$

  $(a+b)^2 = 49$

• Adım 4: $a+b$ değerini bulalım.

  $(a+b)^2 = 49$ olduğuna göre, $a+b$ değeri $49$'un karekökü olmalıdır. Bir sayının karesi $49$ ise, o sayı hem pozitif hem de negatif olabilir:

  $a+b = \sqrt{49}$ veya $a+b = -\sqrt{49}$

  $a+b = 7$ veya $a+b = -7$

• Adım 5: Soruda istenen koşulu uygulayalım.

  Soru bizden $a+b$ toplamının pozitif değerini istemektedir. Bu durumda, bulduğumuz iki değerden pozitif olanı seçmeliyiz.

  Pozitif değer $7$'dir.

Cevap C seçeneğidir.