6. sınıf matematik doğal sayıları asal çarpanlarına ayırma soru çözümü Test 2

Asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 2^a \times 3^b \times 5 \) olan bir sayının pozitif tam bölen sayısı 24'tür. Buna göre a + b kaçtır?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali ve pozitif tam bölen sayısı verilmiş. Bizden $a+b$ toplamını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Pozitif Tam Bölen Sayısı Formülünü Hatırlayalım

  Bir $N$ sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali $N = p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \dots \times p_k^{e_k}$ şeklinde ise, bu sayının pozitif tam bölen sayısı $(e_1+1)(e_2+1)\dots(e_k+1)$ formülü ile bulunur. Yani, her bir asal çarpanın üssünü 1 artırıp bu değerleri çarparız.

• Adım 2: Verilen Sayıya Formülü Uygulayalım

  Soruda verilen sayı $2^a \times 3^b \times 5$ şeklindedir. Burada asal çarpanlar 2, 3 ve 5'tir. Bu asal çarpanların üsleri sırasıyla $a$, $b$ ve $1$ (çünkü $5 = 5^1$) şeklindedir.

  Pozitif tam bölen sayısı 24 olarak verildiğine göre, formülü uygulayalım:

  $(a+1)(b+1)(1+1) = 24$

  $(a+1)(b+1)(2) = 24$

• Adım 3: Denklemi Sadeleştirelim

  Şimdi denklemi daha basit bir hale getirelim. Her iki tarafı 2'ye bölelim:

  $\frac{(a+1)(b+1)(2)}{2} = \frac{24}{2}$

  $(a+1)(b+1) = 12$

• Adım 4: $a$ ve $b$ İçin Olası Değerleri Bulalım

  $a$ ve $b$ birer asal çarpanın üssü olduğu için, bunlar pozitif tam sayılar olmalıdır (yani $a \ge 1$ ve $b \ge 1$). Bu durumda $a+1 \ge 2$ ve $b+1 \ge 2$ olur.

  Şimdi çarpımları 12 olan ve her biri 2'den büyük veya eşit olan tam sayı çiftlerini bulalım. Bu çiftler $(a+1, b+1)$ için şunlar olabilir:

  • $(2, 6)$
  • $(3, 4)$
  • $(4, 3)$
  • $(6, 2)$
• Adım 5: Her Bir Durum İçin $a+b$ Toplamını Hesaplayalım

  Her bir olası çift için $a$ ve $b$ değerlerini ve dolayısıyla $a+b$ toplamını hesaplayalım:

  • Durum 1: Eğer $a+1 = 2$ ve $b+1 = 6$ ise: $a = 2-1 = 1$ ve $b = 6-1 = 5$ olur. Bu durumda $a+b = 1+5 = 6$.
  • Durum 2: Eğer $a+1 = 3$ ve $b+1 = 4$ ise: $a = 3-1 = 2$ ve $b = 4-1 = 3$ olur. Bu durumda $a+b = 2+3 = 5$.
  • Durum 3: Eğer $a+1 = 4$ ve $b+1 = 3$ ise: $a = 4-1 = 3$ ve $b = 3-1 = 2$ olur. Bu durumda $a+b = 3+2 = 5$.
  • Durum 4: Eğer $a+1 = 6$ ve $b+1 = 2$ ise: $a = 6-1 = 5$ ve $b = 2-1 = 1$ olur. Bu durumda $a+b = 5+1 = 6$.
• Adım 6: Sonucu Belirleyelim

  Gördüğümüz gibi, $a+b$ toplamı 5 veya 6 olabilir. Ancak çoktan seçmeli sorularda genellikle tek bir doğru cevap beklenir. Bu tür durumlarda, çarpanların birbirine en yakın olduğu durum tercih edilebilir. $(a+1, b+1)$ çiftleri için:

  • $(2, 6)$ çifti için fark $6-2=4$'tür.
  • $(3, 4)$ çifti için fark $4-3=1$'dir.

  Çarpanların birbirine en yakın olduğu durum $(3, 4)$ veya $(4, 3)$ çiftidir. Bu durumlar $a+b=5$ sonucunu verir.

Cevap C seçeneğidir.