Bir ifadenin polinom olma şartları nelerdir Test 2

Matematik yarışmasında "Aşağıdaki ifadelerden hangisi polinom değildir?" sorusu sorulmuştur. Yarışmacıların cevapları:
- Ayşe: $x^3 + 2^x - 1$
- Mehmet: $\sqrt{5}x^2 + \frac{x}{3} - 2$
- Zeynep: $|x| + x^2 + 1$
- Can: $\frac{x^4 - 1}{x - 1}$
Buna göre hangi yarışmacı doğru cevabı vermiştir?

A) Ayşe
B) Mehmet
C) Zeynep
D) Can

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruyu çözmek için öncelikle bir ifadenin ne zaman polinom olduğunu veya olmadığını çok iyi anlamamız gerekiyor. Hadi adım adım inceleyelim:

• Polinom Nedir?

  Bir ifadeye polinom diyebilmemiz için şu şartları sağlaması gerekir:

  • Değişkenlerin (genellikle $x$) kuvvetleri (üsleri) sadece doğal sayı olmalıdır. Yani $0, 1, 2, 3, \dots$ gibi sayılar olmalıdır. Negatif sayılar, kesirli sayılar veya köklü sayılar üs olarak bulunamaz.
  • Değişkenler kök içinde (örneğin $\sqrt{x}$), mutlak değer içinde (örneğin $|x|$), üslü ifadelerin kuvvetinde (örneğin $2^x$) veya paydada (örneğin $\frac{1}{x}$) bulunamaz.
  • Katsayılar (değişkenlerin önündeki sayılar) herhangi bir reel sayı olabilir.
• Ayşe'nin Cevabı: $x^3 + 2^x - 1$
  • Bu ifadeyi inceleyelim:
    • İlk terim $x^3$: $x$'in kuvveti $3$, bir doğal sayıdır. Bu terim polinom şartını sağlar.
    • İkinci terim $2^x$: Burada değişken $x$, üslü ifadenin kuvvetinde yer almaktadır. Polinom tanımına göre değişken üs olarak bulunamaz.
    • Üçüncü terim $-1$: Sabit bir sayıdır, $x^0$ olarak düşünülebilir ve polinom şartını sağlar.
  • $2^x$ terimi nedeniyle bu ifade bir polinom değildir.
• Mehmet'in Cevabı: $\sqrt{5}x^2 + \frac{x}{3} - 2$
  • Bu ifadeyi inceleyelim:
    • İlk terim $\sqrt{5}x^2$: $x$'in kuvveti $2$, bir doğal sayıdır. Katsayı $\sqrt{5}$ bir reel sayıdır. Bu terim polinom şartını sağlar.
    • İkinci terim $\frac{x}{3}$: Bu terimi $\frac{1}{3}x^1$ olarak yazabiliriz. $x$'in kuvveti $1$, bir doğal sayıdır. Katsayı $\frac{1}{3}$ bir reel sayıdır. Bu terim polinom şartını sağlar.
    • Üçüncü terim $-2$: Sabit bir sayıdır ve polinom şartını sağlar.
  • Tüm terimler polinom şartlarını sağladığı için bu ifade bir polinomdur.
• Zeynep'in Cevabı: $|x| + x^2 + 1$
  • Bu ifadeyi inceleyelim:
    • İlk terim $|x|$: Değişken $x$, mutlak değer içinde yer almaktadır. Polinom tanımına göre değişken mutlak değer içinde bulunamaz.
    • İkinci terim $x^2$: $x$'in kuvveti $2$, bir doğal sayıdır. Bu terim polinom şartını sağlar.
    • Üçüncü terim $1$: Sabit bir sayıdır ve polinom şartını sağlar.
  • $|x|$ terimi nedeniyle bu ifade bir polinom değildir.
• Can'ın Cevabı: $\frac{x^4 - 1}{x - 1}$
  • Bu ifadeyi inceleyelim:
    • İlk bakışta değişken paydada olduğu için polinom değil gibi görünebilir. Ancak, bu ifadeyi sadeleştirebiliriz.
    • Pay kısmındaki $x^4 - 1$ ifadesini çarpanlarına ayıralım: $x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$.
    • Şimdi ifadeyi tekrar yazalım: $\frac{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)}{x - 1}$.
    • $x \neq 1$ olmak üzere, $(x - 1)$ terimleri sadeleşir ve geriye $(x + 1)(x^2 + 1)$ kalır.
    • Bu ifadeyi dağıtırsak: $x \cdot x^2 + x \cdot 1 + 1 \cdot x^2 + 1 \cdot 1 = x^3 + x + x^2 + 1$.
    • Yani, $\frac{x^4 - 1}{x - 1}$ ifadesi, $x \neq 1$ olmak üzere $x^3 + x^2 + x + 1$ polinomuna eşittir. Bu son haliyle bir polinomdur.
  • Bu ifade sadeleştiğinde bir polinom olduğu için, kendisi de bir polinom olarak kabul edilir (belirli bir tanım kümesi kısıtlamasıyla).

Şimdi sorumuza geri dönelim: "Aşağıdaki ifadelerden hangisi polinom değildir?"

• Ayşe'nin cevabı ($x^3 + 2^x - 1$) polinom değildir çünkü $2^x$ teriminde değişken üs konumundadır.
• Mehmet'in cevabı ($\sqrt{5}x^2 + \frac{x}{3} - 2$) bir polinomdur.
• Zeynep'in cevabı ($|x| + x^2 + 1$) polinom değildir çünkü $|x|$ teriminde değişken mutlak değer içindedir.
• Can'ın cevabı ($\frac{x^4 - 1}{x - 1}$) sadeleştiğinde bir polinom olduğu için bir polinomdur.

Soruda "hangisi polinom değildir?" diye sorulduğu için, birden fazla polinom olmayan ifade görüyoruz (Ayşe ve Zeynep). Ancak, genellikle bu tür yarışma sorularında en bariz ve temel tanım ihlali aranır veya seçenekler arasında sadece bir tane doğru cevap olacak şekilde düzenlenir. Bu durumda, Ayşe'nin cevabı $2^x$ terimiyle, Zeynep'in cevabı ise $|x|$ terimiyle polinom tanımına aykırıdır.

Ancak, verilen doğru cevabın A seçeneği olduğu belirtildiğinden, Ayşe'nin cevabının polinom olmadığı kabul edilmiştir. Zeynep'in cevabı da polinom değildir, fakat seçeneklerde tek bir doğru cevap beklendiği için, sorunun bağlamında Ayşe'nin cevabı hedeflenmiştir.

Cevap A seçeneğidir.