Soru:
\( K(x) = x^3 - 5x^m + n \) ifadesi 2. dereceden bir polinom ise, \(m\) ve \(n\) değerlerini bulunuz.
Çözüm:
💡 Bir polinomun derecesi, değişkenin en büyük ve sıfırdan farklı katsayılı teriminin üssüdür.
- ➡️ Dereceyi belirleme: Polinomun derecesi 2 olarak verilmiş. Mevcut terimlere bakalım: \(x^3\) (derece 3) ve \(-5x^m\) (derece \(m\)). Sabit terim \(n\)'nin derecesi 0'dır.
- ➡️ \(x^3\) teriminin durumu: Eğer \(x^3\) terimi polinomda kalırsa, polinomun derecesi 3 olur. Ancak bize derecenin 2 olduğu söyleniyor. Bu durumda \(x^3\) teriminin katsayısı 0 olmalıdır. Fakat burada katsayı 1'dir. Bu bir çelişki gibi görünebilir. Bu soruda, \(m\)'nin bir doğal sayı olduğu ve polinomun sadece bu terimleri içerdiği varsayılır. Bu durumda en yüksek dereceli terim \(x^3\) veya \(x^m\) olacaktır. Derecenin 2 olması için her ikisinin de derecesinin 2'den büyük olmaması ve en yüksek derecenin 2 olması gerekir.
- ➡️ Mantıklı çözüm: \(x^3\) teriminin olmaması gerekir (yani katsayısı 0 olmalı), ama bu mümkün değil. O halde, \(x^3\) teriminin aslında \(x^2\) olması gerekir! Bu bir yazım hatası olabilir veya \(m=2\) alınırsa en yüksek derece 3 olur. Doğru yaklaşım: Polinom 2. dereceden ise, 3 ve 3'ten büyük dereceli terimlerin katsayısı 0 olmalıdır. Yani \(x^3\) terimi olmamalı ve \(m \leq 2\) olmalıdır. Ayrıca, en yüksek derece 2 olduğu için \(m=2\) olmalıdır (çünkü \(m<2\) olsaydı en yüksek derece 3 olurdu).
- ➡️ Sonuç: \(m=2\) olursa, polinom \(K(x) = x^3 - 5x^2 + n\) olur. Bu ifadenin derecesi 3'tür. Bu bir çelişkidir. Bu nedenle, sorunun doğru anlaşılması için \(x^3\) teriminin katsayısının 0 olduğu veya olması gerektiği varsayılır. Eğer \(x^3\) terimi yoksa (yani katsayı 0 ise) ve \(m=2\) ise polinom \(-5x^2 + n\) olur ve derecesi 2'dir. \(n\) ise herhangi bir reel sayı olabilir.
✅ Sonuç: Sorunun mantıklı cevabı için, \(x^3\) teriminin olmadığı (katsayısının 0 olduğu) ve \(m=2\) olduğu kabul edilir. \(n\) herhangi bir reel sayıdır.
