Soru:
\( T(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x-2} \) ifadesi bir polinom mudur? Cevabınızı açıklayınız.
Çözüm:
💡 Bir ifadenin polinom olabilmesi için değişkenin üssü negatif olmayan bir tam sayı olmalı ve değişken paydada bulunmamalıdır.
- ➡️ İlk bakış: \(T(x)\) ifadesi bir kesir olduğu ve paydada \(x\) değişkeni bulunduğu için doğrudan polinom değilmiş gibi görünür. Çünkü paydayı \(x^{-1}\) şeklinde yazabiliriz, bu da negatif üs demektir.
- ➡️ Sadeleştirme ihtimali: Paydaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım: \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
- ➡️ Yeniden yazma: \( T(x) = \frac{(x-2)(x-3)}{x-2} \). Burada \(x \neq 2\) koşuluyla \((x-2)\) terimleri sadeleşir ve \(T(x) = x - 3\) ifadesini verir.
- ➡️ Son durum: \(T(x) = x - 3\) ifadesi bir polinomdur (derecesi 1'dir). Ancak dikkat! Bu sadeleştirme \(x=2\) noktasında geçersizdir. Polinomlar tüm reel sayılar için tanımlıdır. \(T(x)\) ifadesinin orijinal hali \(x=2\) için tanımsızdır.
✅ Sonuç: Tanım kümesi farklı olduğu için (\(T(x)\)'in tanım kümesi \(x \neq 2\) iken, bir polinomun tanım kümesi tüm reel sayılardır) \( \frac{x^2 - 5x + 6}{x-2} \) ifadesi bir polinom değildir. Ancak, \(x=2\) hariç tüm \(x\) değerleri için bir polinoma (x-3) denktir.
