9. Sınıf Havaya Atılan Hilesiz İki Sayı Küpünün Üst Yüzeyine Gelen Sayılar Nedir? Test 2

İki zar atıldığında üst yüzlerde gelen sayıların en az birinin 6 olma olasılığı nedir?

A) \( \frac{5}{18} \)
B) \( \frac{11}{36} \)
C) \( \frac{1}{3} \)
D) \( \frac{7}{18} \)

Bu olasılık sorusunu çözerken, iki farklı yöntem kullanabiliriz: tümleyen olayı hesaplama veya doğrudan istenen durumları sayma. Her iki yöntemi de adım adım inceleyelim:

• Adım 1: Tüm Olası Durumları Belirleme (Örnek Uzay)

  İki zar atıldığında, her bir zar 6 farklı sonuç verebilir (1, 2, 3, 4, 5, 6). Bu durumda, iki zarın atılmasıyla oluşabilecek tüm farklı sonuçların sayısı $6 \times 6 = 36$'dır. Bu, bizim örnek uzayımızın büyüklüğüdür. Örneğin, (1,1), (1,2), ..., (1,6), (2,1), ..., (6,6) gibi 36 farklı sonuç vardır.

• Adım 2: İstenen Durumu Anlama ("En Az Birinin 6 Olması")

  "En az birinin 6 olması" demek, şu durumları kapsar: Birinci zar 6, ikinci zar başka bir sayı (6 hariç); veya İkinci zar 6, birinci zar başka bir sayı (6 hariç); veya Her iki zar da 6. Bu tür durumlarda, genellikle olayın tümleyeni (yani zıttı) üzerinden gitmek daha kolaydır. "En az birinin 6 olması" olayının tümleyeni, "hiçbirinin 6 olmaması" olayıdır.

• Adım 3: Tümleyen Olayı Hesaplama ("Hiçbirinin 6 Olmaması")

  Eğer zarların hiçbirinde 6 gelmeyecekse, her iki zar da 1, 2, 3, 4 veya 5 sayılarından birini göstermelidir. Yani her bir zar için 5 farklı seçenek vardır. Bu durumda, hiçbirinin 6 olmadığı durumların sayısı $5 \times 5 = 25$'tir. Örneğin, (1,1), (1,2), ..., (1,5), (2,1), ..., (5,5) gibi 25 farklı sonuç vardır.

• Adım 4: Tümleyen Olayın Olasılığını Hesaplama

  Hiçbirinin 6 olmama olasılığı, istenmeyen durumların sayısının tüm olası durumların sayısına oranıdır:

  $P(\text{hiç 6 olmaması}) = \frac{\text{Hiç 6 olmayan durum sayısı}}{\text{Tüm olası durum sayısı}} = \frac{25}{36}$

• Adım 5: İstenen Olayın Olasılığını Hesaplama

  Bir olayın olasılığı ile tümleyeninin olasılığının toplamı 1'e eşittir. Yani:

  $P(\text{en az birinin 6 olması}) = 1 - P(\text{hiç 6 olmaması})$

  $P(\text{en az birinin 6 olması}) = 1 - \frac{25}{36}$

  Bu işlemi yaparsak: $1 - \frac{25}{36} = \frac{36}{36} - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ sonucunu buluruz.

• Alternatif Yöntem: Doğrudan İstenen Durumları Sayma

  İstenen durumları doğrudan da sayabiliriz:

  1. Birinci zar 6 geldiğinde, ikinci zar herhangi bir sayı olabilir: (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) - Toplam 6 durum.

  2. İkinci zar 6 geldiğinde, ancak birinci zar 6 değil: (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6) - Toplam 5 durum.

  Bu iki kümedeki durumları topladığımızda (çünkü (6,6) ilk kümede zaten sayılmıştır), "en az birinin 6 olduğu" toplam durum sayısı $6 + 5 = 11$ olur. Olasılık ise $\frac{11}{36}$ olarak bulunur.

Her iki yöntem de aynı sonuca ulaştı. Bu da çözümümüzün doğruluğunu teyit eder.

Cevap B seçeneğidir.