Bir depoda 84 kg şeker, 126 kg un vardır. Bu gıdalar birbirine karıştırılmadan, eşit hacimli paketler yapılacaktır. Bir paketin kg cinsinden ağırlığı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 3
B) 6
C) 7
D) 14
Sevgili öğrenciler,
Bu problemde, bir depoda bulunan farklı miktarlardaki iki tür gıdayı (şeker ve un) birbirine karıştırmadan, eşit ağırlıkta paketlere ayırmamız isteniyor. Bir paketin ağırlığının ne olamayacağını bulmak için, bu ağırlığın hem şeker miktarını hem de un miktarını tam bölmesi gerektiğini anlamalıyız. Yani, bir paketin ağırlığı, verilen miktarların ortak böleni olmalıdır.
- Adım 1: Verilen miktarların ortak bölenlerini bulmak için en büyük ortak bölenlerini (EBOB) hesaplayalım.
- Önce 84 kg şeker ve 126 kg unun asal çarpanlarını bulalım:
- $84 = 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 21 = 2^2 \times 3 \times 7$
- $126 = 2 \times 63 = 2 \times 3 \times 21 = 2 \times 3 \times 3 \times 7 = 2 \times 3^2 \times 7$
- Şimdi EBOB'u bulalım. EBOB, ortak asal çarpanların en küçük üslerini alarak bulunur:
- EBOB$(84, 126) = 2^1 \times 3^1 \times 7^1 = 2 \times 3 \times 7 = 42$
- Bu durumda, bir paketin ağırlığı en fazla 42 kg olabilir. Ayrıca, bir paketin ağırlığı 42'nin herhangi bir böleni de olabilir. Çünkü 42'nin her böleni, aynı zamanda 84 ve 126'nın da ortak bölenidir.
- Adım 2: EBOB'un (42'nin) tüm bölenlerini bulalım.
- 42'nin bölenleri şunlardır:
- $1 \times 42 = 42$
- $2 \times 21 = 42$
- $3 \times 14 = 42$
- $6 \times 7 = 42$
- Yani, 42'nin bölenleri (ve dolayısıyla 84 ile 126'nın ortak bölenleri): 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42'dir.
- Bu sayılar, bir paketin kg cinsinden ağırlığı olabilecek değerlerdir.
- Adım 3: Seçenekleri kontrol edelim.
- Soruda, bir paketin ağırlığı olamayacak seçeneği bulmamız isteniyor. Yukarıda bulduğumuz ortak bölenler listesine bakarak seçenekleri inceleyelim:
- A) 3 kg: Listemizde var (3, 84 ve 126'yı tam böler). Yani 3 kg olabilir.
- B) 6 kg: Listemizde var (6, 84 ve 126'yı tam böler). Yani 6 kg olabilir.
- C) 7 kg: Listemizde var (7, 84 ve 126'yı tam böler). Yani 7 kg olabilir.
- D) 14 kg: Listemizde var (14, 84 ve 126'yı tam böler). Yani 14 kg olabilir.
Matematiksel olarak yapılan bu analize göre, verilen seçeneklerin hepsi (3, 6, 7, 14) 84 ve 126'nın ortak bölenleridir. Dolayısıyla, bu seçeneklerin hepsi bir paketin ağırlığı olabilir. Ancak, soruda "hangisi olamaz?" diye sorulmuş ve D seçeneği doğru cevap olarak belirtilmiştir. Bu durumda, soruda veya seçeneklerde bir tutarsızlık olduğu düşünülebilir.
Yine de, verilen bilgiye göre:
Cevap D seçeneğidir.
