9. Sınıf Üçgenlerde Benzerlik Nedir? Örnek çözümlü sorular Test 2

ABC ve DEF benzer üçgenlerinde |AB| = 9 cm, |BC| = 12 cm, |AC| = 15 cm ve |DE| = 6 cm'dir. Buna göre |EF| kaç cm'dir?

A) 8
B) 9
C) 10
D) 12

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda benzer üçgenlerin özelliklerini kullanarak eksik kenar uzunluğunu bulacağız. Benzer üçgenler, şekilleri aynı ama boyutları farklı olan üçgenlerdir. En önemli özellikleri, karşılıklı kenar uzunluklarının oranının sabit olmasıdır. Bu orana benzerlik oranı denir.

• Adım 1: Verilen Bilgileri Anlayalım ve Not Edelim.

  Soruda bize iki benzer üçgen verildi: $\triangle ABC$ ve $\triangle DEF$.

  $\triangle ABC$'nin kenar uzunlukları: $|AB| = 9$ cm, $|BC| = 12$ cm, $|AC| = 15$ cm.

  $\triangle DEF$'nin bilinen kenar uzunluğu: $|DE| = 6$ cm.

  Bizden istenen: $|EF|$ kaç cm'dir?

• Adım 2: Karşılıklı Kenarları Belirleyelim.

  Üçgenlerin benzerlik sırası önemlidir. $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ ifadesi, köşelerin sırasının karşılıklı olduğunu gösterir:

  A köşesi D köşesine karşılık gelir.

  B köşesi E köşesine karşılık gelir.

  C köşesi F köşesine karşılık gelir.

  Bu durumda, karşılıklı kenarlar şunlardır:

  $|AB|$ kenarı, $|DE|$ kenarına karşılık gelir.

  $|BC|$ kenarı, $|EF|$ kenarına karşılık gelir.

  $|AC|$ kenarı, $|DF|$ kenarına karşılık gelir.

• Adım 3: Benzerlik Oranını (k) Bulalım.

  Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Bu oranı bildiğimiz kenar çiftlerinden bulabiliriz:

  $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|} = k$ (benzerlik oranı)

  Biz $|AB|$ ve $|DE|$ kenarlarını biliyoruz. Bu kenarlar karşılıklı olduğu için benzerlik oranını hesaplayabiliriz:

  $k = \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{9 \text{ cm}}{6 \text{ cm}}$

  Bu oranı sadeleştirelim:

  $k = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

  Demek ki, büyük üçgenin kenarları küçük üçgenin kenarlarının $\frac{3}{2}$ katıdır.

• Adım 4: İstenen Kenar Uzunluğunu Bulalım.

  Bizden $|EF|$ kenarının uzunluğu isteniyor. $|EF|$ kenarı, $|BC|$ kenarına karşılık gelmektedir. Benzerlik oranını kullanarak bu kenarları ilişkilendirebiliriz:

  $\frac{|BC|}{|EF|} = k$

  Bildiklerimizi yerine yazalım:

  $\frac{12 \text{ cm}}{|EF|} = \frac{3}{2}$

  Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak $|EF|$'yi bulalım:

  $3 \times |EF| = 12 \times 2$

  $3 \times |EF| = 24$

  Her iki tarafı $3$'e bölelim:

  $|EF| = \frac{24}{3}$

  $|EF| = 8$ cm

Böylece, $|EF|$ kenarının uzunluğunu $8$ cm olarak bulduk.

Cevap A seçeneğidir.