"Eğer $x > 5$ ise, $x^2 > 25$" önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir?
A) Eğer $x \leq 5$ ise, $x^2 \leq 25$Bir önermenin karşıt tersini bulmak için öncelikle önermenin yapısını anlamamız ve ardından belirli adımları takip etmemiz gerekir.
Verilen önerme "Eğer $x > 5$ ise, $x^2 > 25$" şeklindedir. Bu, mantıkta $P \implies Q$ biçiminde bir koşullu önermedir.
Burada P önermesi: "$x > 5$"
Ve Q önermesi: "$x^2 > 25$"
Bir $P \implies Q$ önermesinin karşıt tersi, $\neg Q \implies \neg P$ şeklinde ifade edilir. Yani, "Q'nun değili doğruysa, P'nin değili de doğrudur" anlamına gelir. Bir önermenin kendisi ile karşıt tersi her zaman birbirine denktir.
Şimdi P ve Q önermelerinin değillerini ($\neg P$ ve $\neg Q$) bulalım:
P önermesi "$x > 5$" idi. Bunun değili ($\neg P$): "$x \leq 5$" olur. (Çünkü $x > 5$ değilse, $x$ ya $5$'e eşittir ya da $5$'ten küçüktür.)
Q önermesi "$x^2 > 25$" idi. Bunun değili ($\neg Q$): "$x^2 \leq 25$" olur. (Çünkü $x^2 > 25$ değilse, $x^2$ ya $25$'e eşittir ya da $25$'ten küçüktür.)
Şimdi $\neg Q \implies \neg P$ yapısını kullanarak karşıt tersi önermeyi oluşturalım:
$\neg Q$: "$x^2 \leq 25$"
$\neg P$: "$x \leq 5$"
Bu durumda karşıt tersi önerme şöyledir: "Eğer $x^2 \leq 25$ ise, $x \leq 5$".
Oluşturduğumuz karşıt tersi önermeyi seçeneklerle karşılaştıralım:
A) Eğer $x \leq 5$ ise, $x^2 \leq 25$ (Bu, verilen önermenin tersidir, $\neg P \implies \neg Q$.)
B) Eğer $x^2 \leq 25$ ise, $x \leq 5$ (Bu, bizim bulduğumuz karşıt tersi önermedir, $\neg Q \implies \neg P$.)
C) Eğer $x^2 > 25$ ise, $x > 5$ (Bu, verilen önermenin karşıtıdır, $Q \implies P$.)
D) Eğer $x^2 \leq 25$ ise, $x \leq -5$ veya $x \leq 5$ (Bu ifade, karşıt tersi formülüne uygun değildir. $x^2 \leq 25$ koşulu $-5 \leq x \leq 5$ anlamına gelir. Bu durumda "Eğer $-5 \leq x \leq 5$ ise, $x \leq -5$ veya $x \leq 5$" önermesi doğru olsa da, bu doğrudan verilen önermenin karşıt tersi değildir; çünkü $\neg P$ sadece "$x \leq 5$" olmalıdır.)
Cevap B seçeneğidir.
