Reel sayı aralıkları ile ilgili sorular ve çözümleri Test 2

Bir dikdörtgenin kısa kenarı \( x \) cm, uzun kenarı \( x+5 \) cm'dir. Bu dikdörtgenin alanı 150 cm²'den büyük olduğuna göre, \( x \)'in alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

A) 9
B) 10
C) 11
D) 12

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda bir dikdörtgenin kenar uzunlukları ve alanı ile ilgili bir problem çözerek, eşitsizlikleri nasıl kullanacağımızı öğreneceğiz. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: Verilen Bilgileri Anlayalım

  Soruda bize bir dikdörtgenin kenar uzunlukları ve alanı hakkında bilgi verilmiş:

  • Kısa kenar uzunluğu: $x$ cm
  • Uzun kenar uzunluğu: $x+5$ cm
  • Dikdörtgenin alanı: 150 cm²'den büyük

  Bizden istenen ise, $x$'in alabileceği en küçük tam sayı değerini bulmak.

• 2. Adım: Dikdörtgenin Alan Formülünü Hatırlayalım

  Bir dikdörtgenin alanı, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımına eşittir.

  Alan = Kısa kenar $\times$ Uzun kenar

• 3. Adım: Eşitsizliği Kuralım

  Verilen kenar uzunluklarını kullanarak alanı ifade edelim:

  Alan = $x \cdot (x+5)$

  Soruda alanın 150 cm²'den büyük olduğu belirtildiği için bir eşitsizlik kurarız:

  $x \cdot (x+5) > 150$

• 4. Adım: Eşitsizliği Çözelim

  Şimdi bu eşitsizliği adım adım çözelim:

  • Önce parantezi dağıtalım:

  $x^2 + 5x > 150$

  • Eşitsizliğin bir tarafını sıfır yapalım:

  $x^2 + 5x - 150 > 0$

  • Bu bir ikinci dereceden eşitsizliktir. Köklerini bulmak için $x^2 + 5x - 150 = 0$ denklemini çözelim. Çarpanlara ayırma yöntemini kullanabiliriz. Çarpımları $-150$ ve toplamları $5$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $15$ ve $-10$'dur.

  $(x+15)(x-10) = 0$

  • Denklemin kökleri $x = -15$ ve $x = 10$'dur.
  • Şimdi eşitsizliğin işaretini inceleyelim. $x^2$ teriminin katsayısı pozitif olduğu için parabol yukarı doğru açılır. Bu durumda, ifade köklerin dışında pozitif değerler alır.

  Yani, $x < -15$ veya $x > 10$ olmalıdır.

• 5. Adım: Fiziksel Koşulları Değerlendirelim

  Unutmayalım ki $x$ bir kenar uzunluğunu temsil ediyor. Uzunluklar negatif olamaz. Bu yüzden $x > 0$ olmalıdır.

  Eşitsizlik çözümümüz $x < -15$ veya $x > 10$ idi. $x > 0$ koşulunu da göz önünde bulundurduğumuzda, $x < -15$ kısmı geçerli olamaz. Dolayısıyla, $x > 10$ koşulu geçerli kalır.

• 6. Adım: En Küçük Tam Sayı Değerini Bulalım

  $x > 10$ koşulunu sağlayan en küçük tam sayı değeri $11$'dir.

• 7. Adım: Cevabı Kontrol Edelim (İsteğe Bağlı Ama Faydalı)
  • Eğer $x=11$ olursa: Kısa kenar $11$ cm, uzun kenar $11+5=16$ cm olur. Alan $= 11 \times 16 = 176$ cm². $176 > 150$ olduğu için bu değer doğrudur.
  • Eğer $x=10$ olursa: Kısa kenar $10$ cm, uzun kenar $10+5=15$ cm olur. Alan $= 10 \times 15 = 150$ cm². $150 > 150$ ifadesi doğru değildir (çünkü $150$ $150$'den büyük değildir, eşittir). Bu yüzden $x=10$ olamaz.

  Bu kontroller, $x$'in alabileceği en küçük tam sayı değerinin $11$ olduğunu doğrular.

Cevap C seçeneğidir.