9 ile bölünebilme kuralı Test 2

Bir sayının 9 ile bölümünden kalanı bulmak için rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalanına baktığımızı öğrenen Mehmet, 5 basamaklı 28A4B sayısının 9 ile bölümünden kalanın 5 olduğunu hesaplıyor. Buna göre A'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A) 18
B) 27
C) 36
D) 45

• 1. Adım: 9 ile Bölünebilme Kuralını Hatırlayalım
• Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.
• Örneğin, 123 sayısının rakamları toplamı $1+2+3=6$'dır. 6'nın 9 ile bölümünden kalan 6'dır. Gerçekten de 123'ü 9'a böldüğümüzde kalan 6 olur ($123 = 13 \times 9 + 6$).
• 2. Adım: Verilen Sayının Rakamları Toplamını Bulalım
• Mehmet'in incelediği sayı $28A4B$. Bu sayının rakamları toplamı: $2 + 8 + A + 4 + B$.
• Bu toplamı düzenlersek: $14 + A + B$.
• 3. Adım: Kalan Bilgisini Matematiksel Olarak İfade Edelim
• Soruda, $28A4B$ sayısının 9 ile bölümünden kalanın 5 olduğu belirtiliyor.
• Bu durumda, rakamları toplamı olan $14 + A + B$'nin de 9 ile bölümünden kalan 5 olmalıdır.
• Matematiksel olarak bunu şöyle ifade edebiliriz: $14 + A + B \equiv 5 \pmod{9}$.
• 4. Adım: Denklemi Sadeleştirelim
• $14 + A + B \equiv 5 \pmod{9}$ ifadesinde, 14'ün 9 ile bölümünden kalanı bulabiliriz. $14 = 1 \times 9 + 5$, yani $14 \equiv 5 \pmod{9}$.
• Bu bilgiyi denklemde yerine yazarsak: $5 + A + B \equiv 5 \pmod{9}$.
• Şimdi her iki taraftan 5 çıkarırsak: $A + B \equiv 0 \pmod{9}$.
• Bu ifade, $A + B$'nin 9'un bir katı olması gerektiği anlamına gelir. Yani $A + B$ sayısı 9'a tam bölünmelidir.
• 5. Adım: A ve B Rakamlarının Alabileceği Değer Aralıklarını Belirleyelim
• A ve B birer rakam olduğu için $0 \le A \le 9$ ve $0 \le B \le 9$ olmalıdır.
• Bu durumda, $A + B$ toplamı en az $0+0=0$ ve en fazla $9+9=18$ olabilir.
• Yani $0 \le A + B \le 18$.
• 6. Adım: A + B İçin Olası Değerleri Bulalım
• $A + B$ toplamı 9'un bir katı olmalı ve $0 \le A + B \le 18$ aralığında olmalıydı.
• Bu koşulları sağlayan 9'un katları şunlardır: 0, 9, 18.
• Yani, $A + B$ toplamı 0, 9 veya 18 olabilir.
• 7. Adım: A'nın Alabileceği Değerleri Belirleyelim
• Şimdi her bir $A+B$ durumu için A'nın hangi değerleri alabileceğine bakalım:
• Durum 1: $A + B = 0$
• A ve B birer rakam olduğu için bu durum sadece $A=0$ ve $B=0$ olduğunda mümkündür.
• Bu durumda A'nın alabileceği değer: 0.
• Durum 2: $A + B = 9$
• A ve B birer rakam olduğu için A'nın alabileceği değerler şunlardır:
• Eğer $B=0$ ise $A=9$.
• Eğer $B=1$ ise $A=8$.
• Eğer $B=2$ ise $A=7$.
• Eğer $B=3$ ise $A=6$.
• Eğer $B=4$ ise $A=5$.
• Eğer $B=5$ ise $A=4$.
• Eğer $B=6$ ise $A=3$.
• Eğer $B=7$ ise $A=2$.
• Eğer $B=8$ ise $A=1$.
• Eğer $B=9$ ise $A=0$.
• Bu durumda A'nın alabileceği değerler: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
• Durum 3: $A + B = 18$
• A ve B birer rakam olduğu için bu durum sadece $A=9$ ve $B=9$ olduğunda mümkündür.
• Bu durumda A'nın alabileceği değer: 9.
• 8. Adım: A'nın Alabileceği Tüm Farklı Değerleri Toplayalım
• Yukarıdaki tüm durumları bir araya getirdiğimizde, A'nın alabileceği farklı değerler şunlardır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
• Bu değerlerin toplamı: $0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9$.
• Bu bir ardışık sayı toplamıdır ve formülü $n(n+1)/2$ ile bulunur. Burada $n=9$.
• Toplam $= \frac{9 \times (9+1)}{2} = \frac{9 \times 10}{2} = \frac{90}{2} = 45$.

Cevap D seçeneğidir.