Soru:
\( 5^{15} + 5^{14} + 5^{13} \) sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
💡 Bu soruyu çözmek için ifadeyi sadeleştirip, sonucun rakamları toplamını bulmak en mantıklı yoldur.
- ➡️ Ortak çarpan parantezine alalım: \( 5^{15} + 5^{14} + 5^{13} = 5^{13} \times (5^2 + 5^1 + 1) \)
- ➡️ Parantez içini hesaplayalım: \( 25 + 5 + 1 = 31 \)
- ➡️ Şimdi elimizde \( 5^{13} \times 31 \) ifadesi var. Bu sayının 9'a bölümünden kalanı bulmak için, sayının 9'a bölümünden kalanı bulmak gerekir. Ancak bu sayı çok büyük! Rakamları toplamını bulmak da pratik değil.
- ➡️ Modüler Aritmetik kullanabiliriz. 9'a bölümünden kalanı bulmak istiyoruz. \( 5^2 = 25 \) sayısının 9'a bölümünden kalan \( 25 - (2 \times 9) = 7 \)'dir. Yani \( 5^2 \equiv 7 \pmod{9} \).
- ➡️ \( 5^3 = 5^2 \times 5 \equiv 7 \times 5 = 35 \equiv 8 \pmod{9} \) (Çünkü \( 35 - (3 \times 9) = 8 \))
- ➡️ \( 5^4 = 5^3 \times 5 \equiv 8 \times 5 = 40 \equiv 4 \pmod{9} \) (Çünkü \( 40 - (4 \times 9) = 4 \))
- ➡️ \( 5^5 = 5^4 \times 5 \equiv 4 \times 5 = 20 \equiv 2 \pmod{9} \)
- ➡️ \( 5^6 = 5^5 \times 5 \equiv 2 \times 5 = 10 \equiv 1 \pmod{9} \)
- ➡️ Görüldüğü gibi kalanlar 6'da bir tekrar ediyor. \( 5^6 \equiv 1 \pmod{9} \).
- ➡️ \( 5^{13} \) ifadesinin kalanını bulalım. \( 13 = (2 \times 6) + 1 \) olduğundan, \( 5^{13} = (5^6)^2 \times 5^1 \equiv (1)^2 \times 5 \equiv 5 \pmod{9} \).
- ➡️ Şimdi ifademize dönelim: \( 5^{13} \times 31 \equiv 5 \times 31 \pmod{9} \)
- ➡️ \( 5 \times 31 = 155 \). 155'in 9'a bölümünden kalanı bulalım: \( 155 \div 9 = 17 \) ve kalan \( 155 - (17 \times 9) = 155 - 153 = 2 \).
✅ Sonuç olarak, \( 5^{15} + 5^{14} + 5^{13} \) sayısının 9 ile bölümünden kalan 2'dir.
