Soru:
Beş basamaklı \( 34x2y \) sayısı 9 ile tam bölünebildiğine göre, \( x \)'in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözüm:
💡 9 ile bölünebilme kuralını uygulayalım.
- ➡️ Sayımız: \( 34x2y \) → Rakamları toplamı: \( 3 + 4 + x + 2 + y = 9 + x + y \)
- ➡️ Bu toplam 9'un katı olmalı: \( 9 + x + y = 9k \)
- ➡️ Her iki tarafı 9'a bölelim olmaz, basitleştirelim: \( x + y + 9 = 9k \) → \( x + y = 9k - 9 \) → \( x + y = 9(k - 1) \)
- ➡️ Bu durumda \( x + y \) toplamının kendisi de 9'un katı olmalıdır.
- ➡️ \( x \) ve \( y \) birer rakam olduğundan (0,1,...,9), \( x+y \) toplamı 0, 9 veya 18 olabilir.
- ➡️ \( x+y = 0 \) ise, \( x=0, y=0 \)
- ➡️ \( x+y = 9 \) ise, \( x \) 0'dan 9'a kadar her değeri alabilir.
- ➡️ \( x+y = 18 \) ise, \( x=9, y=9 \)
- ➡️ Soru bize \( x \)'in alabileceği değerler toplamını soruyor. Tüm durumları listeleyelim:
- \( x+y=0 \) → \( x=0 \)
- \( x+y=9 \) → \( x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \)
- \( x+y=18 \) → \( x=9 \)
- ➡️ Tüm mümkün \( x \) değerleri: {0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9}. Aynı değerleri bir kez sayarsak: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
✅ Bu değerlerin toplamı: \( 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 \)'tir.
