Soru:
Rakamları birbirinden farklı, dört basamaklı \( 3A8B \) sayısı 9 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre \( A \times B \) çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:
💡 9 ile bölünebilme kuralı ve rakamları farklı koşulunu birlikte düşünelim.
- ➡️ Sayımız: \( 3A8B \) → Rakamları toplamı: \( 3 + A + 8 + B = 11 + A + B \)
- ➡️ Bu toplam 9'un katı olmalı: \( 11 + A + B = 9k \)
- ➡️ \( A \) ve \( B \) birer rakamdır (0-9) ve rakamlar birbirinden farklı olmalıdır. (3 ve 8 zaten kullanıldı).
- ➡️ \( 11 + A + B \) ifadesinin 9'un katı olabilmesi için olası değerleri bulalım: 18, 27...
- ➡️ 1. Durum: \( 11 + A + B = 18 \) → \( A + B = 7 \)
- ➡️ 2. Durum: \( 11 + A + B = 27 \) → \( A + B = 16 \)
- ➡️ \( A \times B \) çarpımını en büyük yapmak istiyoruz. Toplamları sabit iki sayının çarpımı, sayılar birbirine eşit olduğunda maksimum olur. Ancak burada rakamlar tam sayı ve farklı olmak zorunda.
- ➡️ 1. Durum için (A+B=7): Çarpımı en büyük yapan (A,B) ikilileri: (6,1) ve (5,2) ve (4,3). Çarpımları sırasıyla 6, 10, 12. En büyük çarpım 12.
- ➡️ 2. Durum için (A+B=16): Çarpımı en büyük yapan (A,B) ikilileri: (9,7) ve (8,8). (8,8) rakamları farklı olma koşulunu bozar. O halde (9,7) ve (7,9) ikilileri geçerlidir. Çarpımları \( 9 \times 7 = 63 \).
- ➡️ Rakamların farklı olduğunu kontrol edelim: (A,B) = (9,7) için sayı \( 3987 \) olur. Rakamlar {3,9,8,7} birbirinden farklı. ✅ (A,B) = (7,9) için sayı \( 3789 \) olur. Rakamlar {3,7,8,9} birbirinden farklı. ✅
✅ İki durumu karşılaştırdığımızda, \( A \times B \) çarpımının alabileceği en büyük değer 63'tür.
