Sıfırın ve Birin Üssü Kaçtır? Test 2

\((a-2)^0 + (b+3)^0 = 2\) eşitliğini sağlayan \(a\) ve \(b\) tam sayıları için \(a \times b\) çarpımının alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) -12
B) -8
C) -6
D) -4

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruyu çözmek için üslü sayılarla ilgili önemli bir kuralı hatırlamamız gerekiyor. Hazırsanız, adım adım ilerleyelim!

• Adım 1: Üslü Sayıların Temel Kuralını Hatırlayalım

  Bir sayının $0$ (sıfırıncı) kuvveti her zaman $1$'e eşittir. Ancak burada çok önemli bir istisna var: Taban asla $0$ olamaz. Yani, $x^0 = 1$ eşitliği sadece $x \neq 0$ olduğunda geçerlidir. Eğer taban $0$ olursa ($0^0$), bu ifade tanımsız kabul edilir.

• Adım 2: Verilen Eşitliği İnceleyelim

  Soruda bize verilen eşitlik: $(a-2)^0 + (b+3)^0 = 2$.

  Yukarıdaki kurala göre, $(a-2)^0$ ifadesinin değeri $1$ olmalıdır. Aynı şekilde, $(b+3)^0$ ifadesinin değeri de $1$ olmalıdır. Çünkü $1 + 1 = 2$ eşitliği ancak bu şekilde sağlanır.

  Bu durumda, aşağıdaki iki koşulun sağlanması gerekir:

  • $(a-2)^0 = 1$
  • $(b+3)^0 = 1$
• Adım 3: $a$ ve $b$ İçin Kısıtlamaları Belirleyelim

  $(a-2)^0 = 1$ olabilmesi için, taban olan $(a-2)$'nin $0$ olmaması gerekir. Yani:

  $a-2 \neq 0 \implies a \neq 2$

  Benzer şekilde, $(b+3)^0 = 1$ olabilmesi için, taban olan $(b+3)$'ün $0$ olmaması gerekir. Yani:

  $b+3 \neq 0 \implies b \neq -3$

  Ayrıca, soruda $a$ ve $b$'nin tam sayı olduğu belirtilmiştir.

• Adım 4: $a \times b$ Çarpımının En Küçük Değerini Bulalım

  Bizden $a \times b$ çarpımının alabileceği en küçük değeri bulmamız isteniyor. Bir çarpımın en küçük (yani en negatif) değeri alabilmesi için, çarpanlardan birinin pozitif, diğerinin negatif olması gerekir. Ayrıca, mutlak değerleri mümkün olduğunca büyük olmalıdır.

  $a \neq 2$ ve $b \neq -3$ koşullarını sağlayan tam sayıları kullanarak $a \times b$ çarpımını en küçük yapmaya çalışalım. Seçenekler arasında en küçük değeri arayacağımız için, bu değerleri elde edebilecek $a$ ve $b$ tam sayılarını bulmaya çalışalım.

  • Durum 1: $a$ pozitif, $b$ negatif olsun.

    $a \neq 2$ koşulunu sağlayan en küçük pozitif tam sayılardan biri $a=1$'dir.

    $b \neq -3$ koşulunu sağlayan negatif tam sayılar: $..., -5, -4, -2, -1$.

    Şimdi $a=1$ için $b$ değerlerini deneyerek çarpımları inceleyelim:

    • Eğer $b=-1$ ise, $a \times b = 1 \times (-1) = -1$.
    • Eğer $b=-2$ ise, $a \times b = 1 \times (-2) = -2$.
    • Eğer $b=-4$ ise, $a \times b = 1 \times (-4) = -4$.
    • Eğer $b=-8$ ise, $a \times b = 1 \times (-8) = -8$.
    • Eğer $b=-12$ ise, $a \times b = 1 \times (-12) = -12$.

    $a \neq 2$ koşulunu sağlayan başka bir pozitif tam sayı $a=3$'tür.

    Şimdi $a=3$ için $b$ değerlerini deneyerek çarpımları inceleyelim:

    • Eğer $b=-1$ ise, $a \times b = 3 \times (-1) = -3$.
    • Eğer $b=-2$ ise, $a \times b = 3 \times (-2) = -6$.
    • Eğer $b=-4$ ise, $a \times b = 3 \times (-4) = -12$.
  • Durum 2: $a$ negatif, $b$ pozitif olsun.

    $a \neq 2$ koşulunu sağlayan en küçük negatif tam sayılardan biri $a=-1$'dir.

    $b \neq -3$ koşulunu sağlayan pozitif tam sayılar: $1, 2, 3, 4, ...$.

    Şimdi $a=-1$ için $b$ değerlerini deneyerek çarpımları inceleyelim:

    • Eğer $b=1$ ise, $a \times b = (-1) \times 1 = -1$.
    • Eğer $b=2$ ise, $a \times b = (-1) \times 2 = -2$.
    • Eğer $b=3$ ise, $a \times b = (-1) \times 3 = -3$.
    • Eğer $b=12$ ise, $a \times b = (-1) \times 12 = -12$.

    $a \neq 2$ koşulunu sağlayan başka bir negatif tam sayı $a=-2$'dir.

    Şimdi $a=-2$ için $b$ değerlerini deneyerek çarpımları inceleyelim:

    • Eğer $b=1$ ise, $a \times b = (-2) \times 1 = -2$.
    • Eğer $b=2$ ise, $a \times b = (-2) \times 2 = -4$.
    • Eğer $b=3$ ise, $a \times b = (-2) \times 3 = -6$.
    • Eğer $b=4$ ise, $a \times b = (-2) \times 4 = -8$.
    • Eğer $b=6$ ise, $a \times b = (-2) \times 6 = -12$.
• Adım 5: Sonucu Belirleyelim

  Yukarıdaki denemelerimizde, $a \times b$ çarpımının $-12$ değerini alabileceğini gördük. Örneğin, $a=1$ ve $b=-12$ (ikisi de geçerli tam sayılar) için çarpım $1 \times (-12) = -12$'dir. Veya $a=3$ ve $b=-4$ için çarpım $3 \times (-4) = -12$'dir. Ya da $a=-2$ ve $b=6$ için çarpım $(-2) \times 6 = -12$'dir.

  Seçenekler arasında en küçük değer $-12$'dir ve bu değeri sağlayan geçerli $a$ ve $b$ tam sayıları mevcuttur.

Cevap A seçeneğidir.