Bir ürünün satış fiyatı x TL olmak üzere, kâr elde edilebilmesi için x² - 8x - 20 > 0 eşitsizliğinin sağlanması gerekmektedir. Bu koşulu sağlayan x değerleri hangi aralıktadır?
A) (-∞, -2) ∪ (10, ∞)Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, bir ürünün satış fiyatı ile kâr elde etme koşulunu içeren bir eşitsizlik problemini adım adım çözeceğiz. Bu tür problemler, günlük hayatta karşılaştığımız durumları matematiksel olarak ifade etmemize yardımcı olur. Hazırsanız başlayalım!
Bize verilen eşitsizlik $x^2 - 8x - 20 > 0$. Bu eşitsizliğin anlamı, $x$ değerlerinin hangi aralıkta olması durumunda $x^2 - 8x - 20$ ifadesinin sonucunun pozitif (yani sıfırdan büyük) olacağıdır. Bir eşitsizliği çözmeye başlarken, öncelikle bu eşitsizliği bir denklem gibi düşünerek köklerini buluruz. Yani $x^2 - 8x - 20 = 0$ denklemini çözeceğiz.
Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemini kullanabiliriz. Çarpımları $-20$ ve toplamları $-8$ olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar $-10$ ve $2$'dir.
O halde denklemi şu şekilde çarpanlarına ayırabiliriz:
$(x - 10)(x + 2) = 0$
Bu denklemin kökleri, her bir çarpanı sıfıra eşitleyerek bulunur:
Bu kökler, eşitsizliğin işaret değiştirdiği kritik noktalardır.
Bulduğumuz kökleri ($x = -2$ ve $x = 10$) bir sayı doğrusuna yerleştiririz. Bu kökler, sayı doğrusunu üç farklı aralığa böler:
Şimdi, bu aralıkların her birinde $x^2 - 8x - 20$ ifadesinin işaretini (pozitif mi, negatif mi) belirlememiz gerekiyor. Bunun için her aralıktan rastgele bir test değeri seçip eşitsizliğe yerleştirebiliriz.
Bu aralıktan bir $x$ değeri seçelim, örneğin $x = -3$.
$(-3)^2 - 8(-3) - 20 = 9 + 24 - 20 = 13$
$13 > 0$ olduğu için, bu aralıktaki tüm $x$ değerleri eşitsizliği sağlar.
Bu aralıktan bir $x$ değeri seçelim, örneğin $x = 0$.
$(0)^2 - 8(0) - 20 = 0 - 0 - 20 = -20$
$-20 > 0$ ifadesi yanlış olduğu için, bu aralıktaki $x$ değerleri eşitsizliği sağlamaz.
Bu aralıktan bir $x$ değeri seçelim, örneğin $x = 11$.
$(11)^2 - 8(11) - 20 = 121 - 88 - 20 = 13$
$13 > 0$ olduğu için, bu aralıktaki tüm $x$ değerleri eşitsizliği sağlar.
Alternatif olarak, ikinci dereceden bir ifadenin (parabolün) katsayısına bakarak da işaretleri belirleyebiliriz. $x^2$ teriminin katsayısı $1$ (pozitif) olduğu için, parabolün kolları yukarı doğrudur. Bu durumda köklerin dışında kalan bölgelerde ifade pozitif, köklerin arasında kalan bölgede ise negatiftir.
Eşitsizliğimiz $x^2 - 8x - 20 > 0$ olduğu için, ifadenin pozitif olduğu aralıkları seçmeliyiz. Yaptığımız testlere göre, bu aralıklar $(-\infty, -2)$ ve $(10, \infty)$'dir.
Bu iki aralığı birleşim sembolü ($\cup$) ile birleştirerek çözüm kümesini yazarız:
Çözüm Kümesi: $(-\infty, -2) \cup (10, \infty)$
Bu, kâr elde edilebilmesi için satış fiyatı $x$'in $-2$'den küçük veya $10$'dan büyük olması gerektiği anlamına gelir. Ancak, bir ürünün satış fiyatı negatif olamayacağı için, pratik anlamda $x > 10$ koşulu geçerlidir. Fakat matematiksel olarak eşitsizliğin çözüm kümesi yukarıdaki gibidir.
Bu çözüm, seçeneklerde A şıkkında verilen ifade ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
