Eşitsizliklerin çözüm kümesini aralık olarak gösterme Test 2

$\frac{x-2}{x+3} \geq 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (-∞, -3) ∪ [2, ∞)
B) (-3, 2]
C) [-3, 2]
D) (-∞, -3] ∪ [2, ∞)

Merhaba sevgili öğrenciler, bu eşitsizlik sorusunu adım adım, dikkatlice inceleyelim ve çözümünü bulalım.

• Adım 1: Kritik Noktaları Bulma

Bir rasyonel eşitsizliği çözerken ilk yapmamız gereken, payı ve paydayı sıfır yapan $x$ değerlerini bulmaktır. Bu değerlere "kritik noktalar" denir. Bu noktalar, sayı doğrusunu belirli aralıklara böler ve her aralıkta eşitsizliğin işaretini incelememizi sağlar.

• Payı sıfır yapan değer: $x-2=0 \Rightarrow x=2$
• Paydayı sıfır yapan değer: $x+3=0 \Rightarrow x=-3$

Kritik noktalarımız $x=-3$ ve $x=2$'dir.

• Adım 2: İşaret Tablosu Oluşturma

Bulduğumuz kritik noktaları sayı doğrusuna küçükten büyüğe doğru yerleştiririz. Bu noktalar, sayı doğrusunu $(-\infty, -3)$, $(-3, 2)$ ve $(2, \infty)$ olmak üzere üç aralığa ayırır. Şimdi her bir aralıkta $\frac{x-2}{x+3}$ ifadesinin işaretini inceleyelim.

• $x=-3$ noktası için: Paydayı sıfır yaptığı için bu noktada ifade tanımsızdır. Bu yüzden çözüm kümesine dahil edilmez. İşaret tablosunda genellikle çift çizgi ile gösterilir.
• $x=2$ noktası için: Payı sıfır yaptığı için bu noktada ifade $0$ olur. Eşitsizliğimiz $\geq 0$ olduğu için $x=2$ değeri çözüm kümesine dahil edilir.

Şimdi her aralıktan bir test değeri seçerek ifadenin işaretini belirleyelim:

• Aralık 1: $(-\infty, -3)$

Örnek olarak $x=-4$ alalım:

$x-2 = -4-2 = -6$ (negatif)

$x+3 = -4+3 = -1$ (negatif)

$\frac{x-2}{x+3} = \frac{\text{negatif}}{\text{negatif}} = \text{pozitif}$. Yani bu aralıkta eşitsizlik sağlanır.

• Aralık 2: $(-3, 2)$

Örnek olarak $x=0$ alalım:

$x-2 = 0-2 = -2$ (negatif)

$x+3 = 0+3 = 3$ (pozitif)

$\frac{x-2}{x+3} = \frac{\text{negatif}}{\text{pozitif}} = \text{negatif}$. Yani bu aralıkta eşitsizlik sağlanmaz.

• Aralık 3: $(2, \infty)$

Örnek olarak $x=3$ alalım:

$x-2 = 3-2 = 1$ (pozitif)

$x+3 = 3+6 = 6$ (pozitif)

$\frac{x-2}{x+3} = \frac{\text{pozitif}}{\text{pozitif}} = \text{pozitif}$. Yani bu aralıkta eşitsizlik sağlanır.

• Adım 3: Çözüm Kümesini Belirleme

Eşitsizliğimiz $\frac{x-2}{x+3} \geq 0$ olduğu için, ifadenin pozitif olduğu veya sıfır olduğu aralıkları arıyoruz.

• İfade pozitif olduğu aralıklar: $(-\infty, -3)$ ve $(2, \infty)$.
• İfade sıfır olduğu nokta: $x=2$. Bu noktayı çözüm kümesine dahil etmeliyiz.
• İfade tanımsız olduğu nokta: $x=-3$. Bu noktayı çözüm kümesine dahil edemeyiz.

Bu bilgileri birleştirirsek, çözüm kümesi şu şekilde olacaktır:

$(-\infty, -3) \cup [2, \infty)$

Burada köşeli parantez $[2, \infty)$ $x=2$ değerinin dahil olduğunu, normal parantez $(-\infty, -3)$ ise $x=-3$ değerinin dahil olmadığını gösterir.

Bu çözüm kümesi seçeneklere baktığımızda A seçeneği ile aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.