E = { } (boş küme) için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Sonsuz kümedir
B) Sonlu kümedir
C) Ne sonlu ne de sonsuz kümedir
D) Hem sonlu hem sonsuz kümedir
Boş küme $E = \{ \}$ için doğru ifadeyi bulmak üzere, öncelikle küme türlerini ve boş kümenin özelliklerini adım adım inceleyelim:
- 1. Boş Küme Tanımı:
- Boş küme, hiç elemanı olmayan kümedir. Sembolik olarak $E = \{ \}$ veya $\emptyset$ ile gösterilir. Bu tanıma göre, boş kümenin eleman sayısı sıfır (0)dır.
- 2. Sonlu Küme Tanımı:
- Bir küme, elemanları sayılabilir ve bu sayma işlemi belirli bir doğal sayı ile son buluyorsa, o kümeye sonlu küme denir. Örneğin, bir sınıftaki öğrenci sayısı (diyelim ki 25) sonlu bir sayıdır, dolayısıyla o sınıfın öğrencileri kümesi sonludur. Eleman sayısı bir doğal sayı olan her küme sonludur.
- 3. Sonsuz Küme Tanımı:
- Bir küme, elemanları sayıldığında bu sayma işlemi hiçbir zaman son bulmuyorsa, yani eleman sayısı saymakla bitmiyorsa, o kümeye sonsuz küme denir. Örneğin, doğal sayılar kümesi $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ sonsuz bir kümedir çünkü elemanlarını saymaya başladığımızda asla sonuna gelemeyiz.
- 4. Boş Kümenin Değerlendirilmesi:
- Boş kümenin eleman sayısı 0'dır. 0, bir doğal sayıdır ve sayma işlemi son bulmuştur (hiçbir eleman saymadan 0'a ulaştık). Bu durum, sonlu küme tanımına tamamen uymaktadır. Çünkü eleman sayısı (0) belirli bir doğal sayıdır.
- 5. Seçeneklerin İncelenmesi:
- A) Sonsuz kümedir: Yanlıştır. Boş kümenin eleman sayısı 0'dır, bu da sonlu bir sayıdır.
- B) Sonlu kümedir: Doğrudur. Boş kümenin eleman sayısı 0 olduğu için, tanım gereği sonlu bir kümedir.
- C) Ne sonlu ne de sonsuz kümedir: Yanlıştır. Her küme ya sonlu ya da sonsuz olmak zorundadır. Üçüncü bir durum yoktur.
- D) Hem sonlu hem sonsuz kümedir: Yanlıştır. Bir küme aynı anda hem sonlu hem de sonsuz olamaz. Bu, küme tanımlarına aykırıdır.
Bu adımları takip ettiğimizde, boş kümenin eleman sayısının 0 olduğunu ve 0'ın sonlu bir sayı olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla, boş küme sonlu bir kümedir.
Cevap B seçeneğidir.
