Soru:
Aşağıdaki önermelerden hangisi \( p \leftrightarrow q \) önermesine eşdeğer değildir?
- A) \( (p \land q) \lor (\neg p \land \neg q) \)
- B) \( \neg (p \veebar q) \)
- C) \( (p \rightarrow q) \land (q \rightarrow p) \)
- D) \( (p \lor \neg q) \land (\neg p \lor q) \)
- E) \( (p \lor q) \land (\neg p \lor \neg q) \)
Çözüm:
🎯 Eşdeğerlik, iki önermenin doğruluk tablosundaki tüm değerler için aynı doğruluk değerini alması demektir. \( p \leftrightarrow q \) önermesi, ancak ve ancak bağlacını ifade eder ve sadece \( p \) ile \( q \) aynı doğruluk değerine sahipse doğrudur.
- ➡️ A seçeneği: \( (p \land q) \) (ikisi de doğru) VEYA \( (\neg p \land \neg q) \) (ikisi de yanlış) durumlarını ifade eder. Bu, tam olarak \( p \leftrightarrow q \)'nun tanımıdır. Eşdeğerdir.
- ➡️ B seçeneği: \( \veebar \) özel veya (XOR) işlemidir. \( p \veebar q \) önermesi, \( p \) ve \( q \) farklı olduğunda doğrudur. Bunun değili (\( \neg \)) alınırsa, \( p \) ve \( q \) aynı olduğunda doğru olur ki bu da \( p \leftrightarrow q \) ile aynıdır. Eşdeğerdir.
- ➡️ C seçeneği: \( p \rightarrow q \) (ise) ve \( q \rightarrow p \) (ise) önermelerinin her ikisinin de doğru olması, ancak ve ancak bağlacının ta kendisidir. Eşdeğerdir.
- ➡️ D seçeneği: Bu aslında \( p \leftrightarrow q \) önermesinin doğruluk değerini veren en yaygın eşdeğerliklerden biridir. Eşdeğerdir.
- ➡️ E seçeneği: \( (p \lor q) \) en az biri doğru, \( (\neg p \lor \neg q) \) ise en az biri yanlış demektir. Bu, \( p \) ve \( q \)'nun farklı olduğu durumu (XOR) ifade eder, aynı olduğu durumu değil. Dolayısıyla \( p \leftrightarrow q \)'nun tersidir, kendisine eşdeğer değildir.
✅ Sonuç: Doğru cevap E seçeneğidir.
