Soru:
Aşağıdaki iki önermenin eşdeğer olup olmadığını doğruluk tablosu yöntemiyle kanıtlayınız.
1. \( (p \land q) \lor (\neg p \land \neg q) \)
2. \( p \leftrightarrow q \)
Çözüm:
🔍 İki önermenin eşdeğer olduğunu göstermek için, tüm olası \( p \) ve \( q \) değerleri için doğruluk değerlerinin aynı olup olmadığına bakarız.
- ➡️ Adım 1: Tüm olası durumları listeleyelim. \( p \) ve \( q \) için 4 farklı kombinasyon vardır.
- ➡️ Adım 2: \( p \leftrightarrow q \) önermesinin değerlerini bulalım. Bu önerme, \( p \) ve \( q \) aynı olduğunda 1 (D), farklı olduğunda 0 (Y) değerini alır.
- ➡️ Adım 3: \( (p \land q) \lor (\neg p \land \neg q) \) önermesinin değerlerini bulalım.
- 1. Satır (p=1, q=1): \( (1 \land 1) \lor (0 \land 0) = (1) \lor (0) = 1 \)
- 2. Satır (p=1, q=0): \( (1 \land 0) \lor (0 \land 1) = (0) \lor (0) = 0 \)
- 3. Satır (p=0, q=1): \( (0 \land 1) \lor (1 \land 0) = (0) \lor (0) = 0 \)
- 4. Satır (p=0, q=0): \( (0 \land 0) \lor (1 \land 1) = (0) \lor (1) = 1 \)
| p | q | (p∧q)∨(¬p∧¬q) |
|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
- ➡️ Adım 4: Karşılaştıralım. Görüldüğü gibi, her bir satırda iki önermenin doğruluk değeri birbiriyle aynıdır (1, 0, 0, 1).
✅ Sonuç: Tüm durumlarda doğruluk değerleri aynı olduğu için, bu iki önerme mantıksal olarak eşdeğerdir. \( (p \land q) \lor (\neg p \land \neg q) \equiv p \leftrightarrow q \)
