Soru:
Bir \( ABC \) üçgeninde \( |AB| = 8 \) br, \( |AC| = 6 \) br ve \( |BC| = 9 \) br'dir. \( A \) köşesinden çıkan açıortayın uzunluğu (\( |AD| = ? \)) nedir?
Çözüm:
💡 Bu soruda iç açıortay uzunluk formülünü kullanacağız. Formül: \( n_a^2 = b \cdot c \left[1 - \frac{a^2}{(b+c)^2}\right] \)
- ➡️ Kenar isimlendirmesini yapalım: \( a = |BC| = 9 \), \( b = |AC| = 6 \), \( c = |AB| = 8 \). Açıortay \( n_a \), \( A \) köşesinden iniyor.
- ➡️ Formülü doğrudan uygulayalım:
\( n_a^2 = b \cdot c \left[1 - \frac{a^2}{(b+c)^2}\right] = 6 \cdot 8 \left[1 - \frac{9^2}{(6+8)^2}\right] \)
- ➡️ İşlemleri adım adım yapalım:
\( n_a^2 = 48 \left[1 - \frac{81}{196}\right] = 48 \left[\frac{196 - 81}{196}\right] = 48 \cdot \frac{115}{196} \)
- ➡️ Sadeleştirelim: \( n_a^2 = \frac{48 \cdot 115}{196} = \frac{12 \cdot 115}{49} = \frac{1380}{49} \)
- ➡️ Karekökünü alalım: \( n_a = \sqrt{\frac{1380}{49}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 345}}{7} = \frac{2\sqrt{345}}{7} \) br.
✅ Açıortayın uzunluğu \( \frac{2\sqrt{345}}{7} \) birimdir.
