Soru:
Bir \( XYZ \) üçgeninde kenar uzunlukları \( |XY| = 5 \) cm, \( |YZ| = 7 \) cm ve \( |XZ| = 9 \) cm'dir. Buna göre, \( \widehat{Y} \) açısının ölçüsü kaç derecedir? (\( \cos^{-1} \) değerini hesaplayınız.)
Çözüm:
💡 Üç kenar uzunluğu bilindiğinde bir açıyı bulmak için kosinüs teoremini kullanırız. \( Y \) açısının karşısındaki kenar \( |XZ| = 9 \) cm'dir.
- ➡️ Kosinüs teoremi: \( |XZ|^2 = |XY|^2 + |YZ|^2 - 2 \cdot |XY| \cdot |YZ| \cdot \cos(Y) \)
- ➡️ Değerleri yerine koyalım: \( 9^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos(Y) \)
- ➡️ Hesaplayalım: \( 81 = 25 + 49 - 70 \cdot \cos(Y) \) → \( 81 = 74 - 70 \cos(Y) \)
- ➡️ \( 81 - 74 = -70 \cos(Y) \) → \( 7 = -70 \cos(Y) \) → \( \cos(Y) = -\frac{7}{70} = -\frac{1}{10} \)
- ➡️ \( Y = \cos^{-1}(-\frac{1}{10}) \) bulunur. Hesap makinesi ile \( Y \approx 95.74^\circ \) olarak hesaplanır.
✅ Sonuç: \( \widehat{Y} \approx 95.74^\circ \)'dir.
