Soru:
Bir \( PQR \) üçgeninde \( |PQ| = 10 \) cm, \( |PR| = 12 \) cm ve \( \widehat{P} = 120^\circ \) dir. \( |QR| \) kenarının uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
💡 Burada yine iki kenar ve aralarındaki açı verilmiş. Dikkat! Açı \( 120^\circ \) olduğu için kosinüs değeri negatif çıkacak.
- ➡️ Kosinüs teoremi: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A) \). Burada \( a = |QR| \), \( b = |PR| = 12 \), \( c = |PQ| = 10 \) ve \( A = \widehat{P} = 120^\circ \).
- ➡️ Formülü yazalım: \( |QR|^2 = 12^2 + 10^2 - 2 \cdot 12 \cdot 10 \cdot \cos(120^\circ) \)
- ➡️ \( \cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} \)
- ➡️ Hesaplayalım: \( |QR|^2 = 144 + 100 - 2 \cdot 12 \cdot 10 \cdot (-\frac{1}{2}) \)
- ➡️ \( |QR|^2 = 244 - ( -120 ) \) → \( |QR|^2 = 244 + 120 = 364 \)
- ➡️ \( |QR| = \sqrt{364} = 2\sqrt{91} \) cm bulunur.
✅ Sonuç: \( |QR| = 2\sqrt{91} \) cm'dir.
