Soru:
Bir plazma küresinin içindeki elektrik alan, yarıçapın bir fonksiyonu olarak \( E(r) = \frac{\rho r}{3\epsilon_0} \) şeklinde ifade edilebilir. Burada \( \rho \) sabit yük yoğunluğudur. Bu plazma küresinin merkezinden \( R \) uzaklığındaki bir noktada elektrostatik potansiyel \( V(R) \) nedir? (Sonsuzdaki potansiyeli 0 alınız.)
Çözüm:
Potansiyel, elektrik alanın integrali ile bulunur. ⚡ Ancak integrali, kürenin dışı (\( r > R \)) ve içi (\( r < R \)) için ayrı ayrı düşünmek gerekir. Soruda \( R \) uzaklığındaki bir nokta için potansiyel isteniyor. Bu nokta kürenin yüzeyindedir.
- ➡️ Adım 1: Potansiyel Tanımı
Elektrik potansiyel farkı, \( V(a) - V(b) = -\int_{b}^{a} \vec{E} \cdot d\vec{l} \) şeklinde tanımlanır. Sonsuzdaki potansiyel 0 kabul edildiği için, \( V(R) = -\int_{\infty}^{R} \vec{E} \cdot d\vec{l} \) olur.
- ➡️ Adım 2: İntegrali İki Bölgeye Ayırma
İntegrali iki parçaya bölelim: sonsuzdan kürenin yüzeyine (r=R). Ancak, elektrik alan kürenin dışında farklıdır (kürenin dışındaki alan, noktasal bir yükün alanı gibidir). Kürenin toplam yükü \( Q = \rho \cdot (\frac{4}{3}\pi R^3) \)'tür. Kürenin dışındaki (r ≥ R) elektrik alan: \( E_{dış}(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} = \frac{\rho R^3}{3 \epsilon_0 r^2} \).
- ➡️ Adım 3: İntegralin Hesaplanması
\( V(R) = -\int_{\infty}^{R} E_{dış}(r) dr = -\int_{\infty}^{R} \frac{\rho R^3}{3 \epsilon_0 r^2} dr \)
\( V(R) = -\frac{\rho R^3}{3 \epsilon_0} \int_{\infty}^{R} r^{-2} dr = -\frac{\rho R^3}{3 \epsilon_0} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{\infty}^{R} \)
\( V(R) = \frac{\rho R^3}{3 \epsilon_0} \left( \frac{1}{R} - 0 \right) = \frac{\rho R^2}{3 \epsilon_0} \)
✅ Sonuç: Plazma küresinin yüzeyindeki elektrostatik potansiyel \( V(R) = \frac{\rho R^2}{3 \epsilon_0} \) volt'tur.
