Soru:
Bir plazma örneğinde, iyonların ve elektronların sıcaklıkları farklı olabilir. Elektron sıcaklığı \( T_e = 15 \times 10^{3} \) K ve iyon sıcaklığı \( T_i = 5 \times 10^{3} \) K olan bir hidrojen plazması düşünelim. Bu plazmadaki Debye uzunluğunu (λD) hesaplayınız.
- Plazma yoğunluğu: \( n_e = n_i = 10^{20} \) m-3
- Boltzmann sabiti: \( k_B = 1.38 \times 10^{-23} \) J/K
- Elektron yükü: \( e = 1.6 \times 10^{-19} \) C
- Boş uzayın elektrik geçirgenliği: \( \epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \) C²/N·m²
Çözüm:
Debye uzunluğu, bir plazmadaki elektrik alanının ekranlanma uzunluğudur. 🔬 İyonlar ve elektronlar farklı sıcaklıklara sahip olduğunda, efektif Debye uzunluğu şu formülle verilir: \( \frac{1}{\lambda_D^2} = \frac{1}{\lambda_{De}^2} + \frac{1}{\lambda_{Di}^2} \)
- ➡️ Adım 1: Elektron Debye Uzunluğunun Hesaplanması
\( \lambda_{De} = \sqrt{\frac{\epsilon_0 k_B T_e}{n_e e^2}} \)
Pay: \( \epsilon_0 k_B T_e = (8.85 \times 10^{-12}) \times (1.38 \times 10^{-23}) \times (15 \times 10^{3}) \approx 1.832 \times 10^{-30} \)
Payda: \( n_e e^2 = (10^{20}) \times (2.56 \times 10^{-38}) = 2.56 \times 10^{-18} \)
\( \lambda_{De} = \sqrt{\frac{1.832 \times 10^{-30}}{2.56 \times 10^{-18}}} = \sqrt{7.156 \times 10^{-13}} \approx 8.46 \times 10^{-7} \) m
- ➡️ Adım 2: İyon Debye Uzunluğunun Hesaplanması
\( \lambda_{Di} = \sqrt{\frac{\epsilon_0 k_B T_i}{n_i e^2}} \)
Pay: \( \epsilon_0 k_B T_i = (8.85 \times 10^{-12}) \times (1.38 \times 10^{-23}) \times (5 \times 10^{3}) \approx 6.107 \times 10^{-31} \)
Payda: \( n_i e^2 = 2.56 \times 10^{-18} \) (elektronlarla aynı)
\( \lambda_{Di} = \sqrt{\frac{6.107 \times 10^{-31}}{2.56 \times 10^{-18}}} = \sqrt{2.385 \times 10^{-13}} \approx 4.88 \times 10^{-7} \) m
- ➡️ Adım 3: Efektif Debye Uzunluğunun Hesaplanması
\( \frac{1}{\lambda_D^2} = \frac{1}{(8.46 \times 10^{-7})^2} + \frac{1}{(4.88 \times 10^{-7})^2} = \frac{1}{7.16 \times 10^{-13}} + \frac{1}{2.38 \times 10^{-13}} \)
\( \frac{1}{\lambda_D^2} \approx 1.396 \times 10^{12} + 4.202 \times 10^{12} = 5.598 \times 10^{12} \)
\( \lambda_D = \sqrt{\frac{1}{5.598 \times 10^{12}}} \approx \sqrt{1.786 \times 10^{-13}} \approx 4.23 \times 10^{-7} \) m
✅ Sonuç: Bu plazmanın efektif Debye uzunluğu yaklaşık 0.423 mikrometre'dir.
