İfadesi polinom ise n nin alabileceği değerler toplamı

\( S(x) = 5x^{\frac{n}{2}} + 2x^5 \) ifadesi bir polinom olduğuna göre, \( n \)'nin alabileceği pozitif çift tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

💡 Bir ifadenin polinom olması için terimlerin üslerinin doğal sayı olması gerekir. İkinci terimin üssü zaten 5'tir (bir doğal sayı). Problemi birinci terim oluşturur.

• ➡️ Birinci terim: \( 5x^{\frac{n}{2}} \). Bu terimin polinom terimi olması için \( \frac{n}{2} \) ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir. Yani \( \frac{n}{2} \in \mathbb{N} \).
• ➡️ \( \frac{n}{2} \)'nin doğal sayı olması için \( n \)'nin bir çift doğal sayı olması gerekir (\( n = 0, 2, 4, 6, ... \)).
• ➡️ Soruda \( n \)'nin pozitif çift tam sayı olması istendiğinden, \( n = 2, 4, 6, 8, ... \) (Sonsuza kadar gider).

✅ Bu durumda da \( n \)'nin alabileceği değerler sonsuz olduğu için toplamları da sonsuz olur. Bu soru, üssün bir rasyonel ifade olduğu durumlarda polinom olma şartının nasıl uygulanacağını göstermek için verilmiştir. Pratik bir sınav sorusu olması için genellikle \( n \)'nin alabileceği değerler sonlu bir küme oluşturmalıdır.