Soru:
\(x, y, z\) reel sayıları için \(x < y\) ve \(z > 0\) olsun. \(x \cdot z < y \cdot z\) olduğunu gösteriniz. Hangi aksiyom kullanılır?
Çözüm:
💡 Bu soru, pozitif bir sayı ile çarpma işleminin sıralamayı koruması üzerinedir.
- ➡️ Verilenler: \(x < y\) ve \(z > 0\).
- ➡️ Reel sayılardaki sıralama aksiyomlarından biri şunu belirtir: Her \(a, b, c \in \mathbb{R}\) için, eğer \(a < b\) ve \(0 < c\) ise \(a \cdot c < b \cdot c\)'dir.
- ➡️ Burada \(a = x\), \(b = y\) ve \(c = z\) alınabilir. \(z\)'nin pozitif olduğu verildiği için koşul sağlanır.
- ➡️ Dolayısıyla, verilen eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayı (\(z\)) ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirmez.
✅ Sonuç: \(x \cdot z < y \cdot z\) eşitsizliği, "Pozitif sayı ile çarpma ile sıralamanın korunumu" aksiyomu gereği doğrudur.
