Reel sayılar kümesi (ℝ), toplama ve çarpma işlemlerinin yanı sıra bir "sıralama" yapısına da sahiptir. Bu sıralama, bize herhangi iki reel sayıyı karşılaştırma imkanı verir. Bu yapının temelini, aşağıda belirtilen ve ispat gerektirmeyen, kabul ettiğimiz aksiyomlar (önermeler) oluşturur.
Herhangi bir \( a \) ve \( b \) reel sayısı için, aşağıdaki üç durumdan yalnızca ve yalnızca biri doğrudur:
Bu, iki sayıyı karşılaştırmanın her zaman mümkün olduğu ve sonucun kesin olduğu anlamına gelir. İki sayı aynı anda birbirinden hem büyük hem küçük olamaz veya hem eşit hem değil olamaz.
Herhangi \( a, b, c \in \mathbb{R} \) için:
Bu aksiyom, sıralamanın "tutarlı" olduğunu söyler. Örneğin, 3'ün 2'den, 2'nin de 1'den büyük olması, 3'ün 1'den büyük olmasını gerektirir.
Herhangi \( a, b, c \in \mathbb{R} \) için, eğer \( a < b \) ise, o zaman \( a + c < b + c \) olur.
Bu, bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayıyı ekleyebileceğimizi ve eşitsizlik yönünün değişmeyeceğini ifade eder. Eşitsizlikleri çözerken en sık kullandığımız özelliklerden biridir.
Örnek: \( x - 5 < 3 \) eşitsizliğini çözmek için her iki tarafa 5 ekleriz: \( x < 8 \).
Bu aksiyomun iki durumu vardır:
Bu aksiyom, bir eşitsizliği pozitif bir sayı ile çarptığımızda eşitsizlik yönünün aynı kalacağını, ancak negatif bir sayı ile çarptığımızda eşitsizlik yönünün değişeceğini söyler. Bu çok kritik bir noktadır!
Örnek 1 (Pozitif): \( \frac{x}{2} > 4 \) eşitsizliğini çözmek için her iki tarafı pozitif olan 2 ile çarparız: \( x > 8 \).
Örnek 2 (Negatif): \( -2x < 6 \) eşitsizliğini çözmek için her iki tarafı negatif olan \( -\frac{1}{2} \) ile çarparız. Bu durumda eşitsizlik yön değiştirir: \( x > -3 \).
Reel sayıların sıralama aksiyomları şunlardır:
Bu dört temel aksiyom, reel sayılardaki tüm eşitsizlik işlemlerimizin ve sıralama mantığımızın dayanağını oluşturur. Eşitsizlikleri çözerken her adımımız aslında bu aksiyomlardan birine dayanır.
