Soru:
Bir \( ABC \) üçgeninde \( |AB| = 15 \) cm, \( |AC| = 20 \) cm ve \( A \) açısı 30°'dir. \( [BC] \) kenarına ait yüksekliği (\( h_a \)) bulunuz. (İpucu: İki farklı alan formülü kullanın.)
Çözüm:
💡 Bu soruda, iki kenar ve aralarındaki açı biliniyor. Önce bu bilgilerle alanı bulup, sonra bu alanı kullanarak istenen yüksekliği hesaplayacağız.
- ➡️ İki kenar ve aralarındaki açı ile alan formülü: \( Alan = \frac{1}{2} \times |AB| \times |AC| \times \sin(A) \).
- ➡️ Değerleri yerine koyalım: \( Alan = \frac{1}{2} \times 15 \times 20 \times \sin(30°) \). \(\sin(30°) = 0.5\) olduğundan, \( Alan = \frac{1}{2} \times 300 \times 0.5 = 75 \) cm².
- ➡️ Şimdi, bulduğumuz bu alanı, \( [BC] \) kenarı ve bu kenara ait yükseklik (\( h_a \)) cinsinden yazalım: \( Alan = \frac{1}{2} \times |BC| \times h_a \).
- ➡️ Bu formülü kullanabilmek için önce \( |BC| \) kenarını Kosinüs Teoremi ile bulmalıyız: \( |BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 \times |AB| \times |AC| \times \cos(A) \).
- ➡️ Değerleri yerine koyalım: \( |BC|^2 = 15^2 + 20^2 - 2 \times 15 \times 20 \times \cos(30°) \). \( |BC|^2 = 225 + 400 - (600 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) = 625 - 300\sqrt{3} \).
- ➡️ \( |BC| = \sqrt{625 - 300\sqrt{3}} \) cm'dir. Şimdi alan formülüne dönelim: \( 75 = \frac{1}{2} \times \sqrt{625 - 300\sqrt{3}} \times h_a \).
- ➡️ Buradan \( h_a \)'yı çekersek: \( h_a = \frac{150}{\sqrt{625 - 300\sqrt{3}}} \) cm olur.
✅ Sonuç: \( [BC] \) kenarına ait yükseklik \( h_a = \frac{150}{\sqrt{625 - 300\sqrt{3}}} \) cm'dir. Bu ifade sadeleştirilebilir ancak bu haliyle de doğru bir cevaptır.
