Üçgende diklik merkezi nedir

ABC üçgeninde, A köşesinden [BC] kenarına çizilen dikme ayağı D, B köşesinden [AC] kenarına çizilen dikme ayağı E noktasıdır. [AD] ve [BE] doğru parçalarının kesişim noktası H olarak veriliyor. m(∠ACB) = 70° ise, m(∠BHC) kaç derecedir?

💡 H noktası, üçgenin diklik merkezidir. Diklik merkezinin bir özelliği, köşelerle birleştirildiğinde oluşan açıların ölçülerini bulmamızı sağlar.

• ➡️ Bir üçgende, bir köşedeki açı ile diklik merkezinin diğer iki köşeyle birleştirilmesiyle oluşan açı bütünlerdir. Yani, m(∠BAC) + m(∠BHC) = 180°.
• ➡️ Ancak burada bize ∠ACB, yani C açısı verilmiş. Formülü ona göre uyarlamalıyız. Genel kural: m(∠A) + m(∠BHC) = 180°, m(∠B) + m(∠AHC) = 180°, m(∠C) + m(∠AHB) = 180°.
• ➡️ Soruda m(∠ACB) = 70° verildiğine göre, bu C açısıdır. C açısı ile karşısındaki H noktasının A ve B köşeleriyle yaptığı ∠AHB açısı bütünlerdir. Yani m(∠C) + m(∠AHB) = 180°.
• ➡️ Fakat soruda bizden istenen ∠BHC'dir. Bu, H noktasının B ve C köşeleriyle yaptığı açıdır. B açısı ile bütünler olan ise ∠AHC'dir. Kuralı doğru uygulayalım: Bir köşedeki açı, diklik merkezinin diğer iki köşeyle yaptığı açı ile bütünlerdir. C köşesinin karşısındaki H açısı ∠AHB'dir. O halde m(∠C) + m(∠AHB) = 180° → 70° + m(∠AHB) = 180° → m(∠AHB) = 110°.
• ➡️ Dörtgenlerde iç açılar toplamı 360° olduğundan, AHB açısı ile BHC açısı ve diğer açılar arasında ilişki kurmak karmaşık olur. Daha basit bir yol izleyelim. Bir üçgende iki yüksekliğin kesişimi H'dir. AE⊥BC ve BD⊥AC'dir. BEHC bir dörtgendir ve bu dörtgende m(∠HEC) = 90° ve m(∠BDC) = 90°'dir. Bir dörtgende karşılıklı iki açının toplamı 180° ise bu bir kirişler dörtgenidir. m(∠EHC) + m(∠EBC) = 180° olmalıdır. m(∠EBC) = 70° değildir. Bu yol da çıkmaz sokak.
• ➡️ Doğru formül: m(∠BHC) = 180° - m(∠A)'dır. Ancak biz A açısını bilmiyoruz. Alternatif bir özellik: Dar açılı bir üçgende diklik merkezi iç bölgededir ve m(∠BHC) = 180° - m(∠A) eşitliği vardır. A açısını bulmak için üçgenin iç açılar toplamını kullanalım: m(∠A) + m(∠B) + 70° = 180° → m(∠A) + m(∠B) = 110°. Buradan A açısını tek başına bulamayız.
• ➡️ Sorunun çözümü için farklı bir özellik kullanacağız. AD ve BE yükseklikler olduğu için, m(∠AEB) = 90° ve m(∠ADB) = 90°'dir. ABDE dörtgeninde karşılıklı açılar toplamı 180° olduğundan bu bir kirişler dörtgenidir. Kirişler dörtgeninde aynı yayı gören çevre açılar eşittir. Yani m(∠ABE) = m(∠ADE). Ancak bu da sonucu vermez.
• ➡️ Doğrudan genel kuralı hatırlayalım: Dar açılı bir üçgende diklik merkezinin (H) oluşturduğu açılar şu şekilde bulunur: m(∠BHC) = 180° - m(∠A). A açısını bulmamız gerekir. A açısını bulmak için yüksekliklerden faydalanabiliriz. AEC dik üçgeninde m(∠ACE)=70° ise m(∠EAC)=20° olur. Yani m(∠A) = 20° bulunur.
• ➡️ O halde m(∠BHC) = 180° - 20° = 160° olur.

✅ Sonuç: m(∠BHC) = 160°'dir.