Soru:
Aşağıdaki eşitliğin doğru olması için \( x \) ve \( y \) değerleri ne olmalıdır?
\[ \frac{3 + 2\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = x + y\sqrt{2} \]
Çözüm:
💡 Paydayı rasyonelleştirerek eşdeğer ifadeyi bulacağız.
- ➡️ İlk adım: Pay ve paydayı paydanın eşleniği olan \( 1 - \sqrt{2} \) ile çarpalım.
- ➡️ İkinci adım: \( \frac{(3 + 2\sqrt{2})(1 - \sqrt{2})}{(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})} = \frac{3 - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2 \times (\sqrt{2})^2}{1^2 - (\sqrt{2})^2} \).
- ➡️ Üçüncü adım: Pay ve paydayı hesaplayalım. Pay: \( 3 - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 4 = (3-4) + (-3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) = -1 - \sqrt{2} \). Payda: \( 1 - 2 = -1 \).
- ➡️ Dördüncü adım: \( \frac{-1 - \sqrt{2}}{-1} = 1 + \sqrt{2} \). Buradan, \( x + y\sqrt{2} = 1 + 1\cdot\sqrt{2} \).
✅ Sonuç: \( x = 1 \), \( y = 1 \).
