Soru:
Dört basamaklı \( 7A3A \) sayısı 5 ile bölündüğünde 3 kalanını vermektedir. Bu sayı 3 ile tam bölünebildiğine göre, \( A \) kaçtır?
Çözüm:
💡 Önce 5 ile bölümünden kalan koşulunu kullanarak \( A \)'nın olası değerlerini bulalım.
- ➡️ 5 ile bölümünden kalan 3 ise: Sayının son basamağı ya 3 ya da 8 olmalıdır. Çünkü birler basamağı 0 veya 5 ise kalan 0, 1 veya 6 ise kalan 1, 2 veya 7 ise kalan 2, 3 veya 8 ise kalan 3, 4 veya 9 ise kalan 4 olur.
- ➡️ Sayımız \( 7A3A \). Son basamak \( A \) olduğuna göre, \( A = 3 \) veya \( A = 8 \) olabilir.
- ➡️ 3 ile tam bölünme: Rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır. Rakamlar toplamı: \( 7 + A + 3 + A = 10 + 2A \).
- ➡️ 1. Durum (\( A = 3 \)): Rakamlar toplamı \( 10 + 2*3 = 10 + 6 = 16 \). 16, 3'ün katı değildir.
- ➡️ 2. Durum (\( A = 8 \)): Rakamlar toplamı \( 10 + 2*8 = 10 + 16 = 26 \). 26, 3'ün katı değildir.
- ➡️ ❗ Bir çelişki var gibi görünüyor. Soruyu tekrar kontrol edelim. Sayı \( 7A3A \). Birler basamağı son \( A \), onlar basamağı ise 3'tür. 5 ile bölümünden kalanı belirleyen birler basamağıdır. Yani birler basamağı \( A \) olmalı ve bu basamak 5 ile bölündüğünde 3 kalanını vermeli. Bu durum \( A = 3 \) veya \( A = 8 \) demektir. Ancak her iki değer de 3 ile bölünme şartını sağlamıyor.
- ➡️ 🧠 Demek ki sayının 5 ile bölümünden kalan 3 koşulunu yanlış yorumlamış olabiliriz. Belki de sayının kendisi 5'e bölündüğünde 3 kalıyor, yani sayı 5'in katından 3 fazladır: \( 7A3A \equiv 3 \pmod{5} \). Bu durumda birler basamağı 3 veya 8 olur dedik ve doğruydu. O halde soruda bir hata yok, sadece iki koşulu aynı anda sağlayan bir \( A \) rakamı yok. Ancak genellikle bu tarz sorularda bir çözüm bulunur. Rakamlar toplamını tekrar hesaplayalım: \( 7 + A + 3 + A = 10 + 2A \).
- ➡️ \( A=3 \) için toplam 16 (3'ün katı değil). \( A=8 \) için toplam 26 (3'ün katı değil). Gerçekten de çözüm yok. Fakat soru "bu sayı 3 ile tam bölünebildiğine göre" diyor, yani bir çözüm olmalı. Belki de 5 ile bölümünden kalan 3 ifadesi, sayının 5'e bölümünde bölümün 3 olması anlamında değildir, kalanın 3 olması anlamındadır ve biz doğru anladık. O halde muhtemelen soruda bir yazım hatası vardır veya sayı farklıdır. Ancak verilen bilgilerle çözüm yapılamaz. Yine de mantık yürütme sürecini göstermek adına, eğer bir çözüm olsaydı şu şekilde bulunurdu: 1) 5'e bölümünden kalan 3 ile A'yı bul, 2) 3'e tam bölünme şartı ile A'yı bul, 3) İkisini sağlayan ortak değeri seç.
✅ Bu soru için verilen koşulları sağlayan bir \( A \) rakamı yoktur. (Not: Bu durum bazen sınav sorularında hata olarak karşımıza çıkabilir. Doğru bir soru için, iki koşulu da sağlayan bir rakam mutlaka olmalıdır.)
