Ortalama hız formülü

Bir araba, \( x \) km'lik bir yolu 80 km/sa hızla gidip, aynı yolu 120 km/sa hızla dönüyor. Tüm yolculuğun ortalama hızı 96 km/sa olduğuna göre, \( x \) kaç km'dir?

💡 Bu soruda bilinmeyen mesafeyi (\( x \)) bulmamız isteniyor. Ortalama hız formülünü kullanarak bir denklem kuracağız.

• ➡️ Toplam Yol: Gidiş (\( x \) km) + Dönüş (\( x \) km) = \( 2x \) km
• ➡️ Toplam Zaman: \( \frac{x}{80} \) (Gidiş süresi) + \( \frac{x}{120} \) (Dönüş süresi) saat
• ➡️ Bu iki kesri toplamak için payda eşitleyelim: \( \frac{3x}{240} + \frac{2x}{240} = \frac{5x}{240} = \frac{x}{48} \) saat.
• ➡️ Ortalama Hız Formülü: \( \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}} = \text{Ortalama Hız} \)
• ➡️ Denklemi kuralım: \( \frac{2x}{\frac{x}{48}} = 96 \)
• ➡️ Sadeleştirelim: \( 2x \times \frac{48}{x} = 96 \) → \( 96 = 96 \). Bu bize \( x \)'i bulmak için yeni bir denklem vermedi! Hata yaptık. Denklemi doğru kuralım: \( \frac{2x}{(x/48)} = 96 \) işlemi \( 2x \times \frac{48}{x} = 96 \) şeklinde olur ve bu da \( 96 = 96 \) sonucunu verir. Bu, \( x \)'in herhangi bir değer için sağlandığını göstermez, bir işlem hatası var. Doğrusu: \( \frac{2x}{(x/48)} = 96 \) ifadesi \( 2x \times \frac{48}{x} = 96 \) yani \( 96 = 96 \) eder. Bu bir özdeşliktir, yani \( x \)'in değeri ne olursa olsun ortalama hız 96 km/sa çıkar. Demek ki soruda bir tutarsızlık var veya biz yanlış hesapladık. Ortalama hız formülünü tekrar uygulayalım: \( \text{Ort. Hız} = \frac{2x}{\frac{x}{80} + \frac{x}{120}} = 96 \). İçerideki toplamı yapalım: \( \frac{x}{80} + \frac{x}{120} = \frac{3x}{240} + \frac{2x}{240} = \frac{5x}{240} = \frac{x}{48} \). Yani denklem: \( \frac{2x}{(x/48)} = 96 \) → \( 2x \times \frac{48}{x} = 96 \) → \( 96 = 96 \). Evet, bu bir özdeşlik. Demek ki verilen hız değerleri (80 ve 120) için ortalama hız her zaman 96 km/sa çıkar. Bu nedenle \( x \) için kesin bir değer bulunamaz. Sorunun mantığını göstermek için çözüm bu şekildedir.

✅ Sonuç: Verilen değerlerle \( x \)'in herhangi bir pozitif değeri için ortalama hız 96 km/sa olur. Yani \( x \) belirli bir değere sahip değildir.