Soru:
Bir ikinci dereceden denklemin diskriminantı \( \Delta = 49 \) olarak hesaplanmıştır. Bu denklemin kökleri hakkında ne söylenebilir? Ayrıca, katsayıları tam sayı olan ve diskriminantı 49 eden örnek bir denklem yazınız.
Çözüm:
🔍 Bu soru, diskriminant değerinden köklerin doğasını çıkarmanın yanı sıra, tersine bir mantık yürütmeyi de gerektiriyor.
- ➡️ Adım 1: Diskriminantı Yorumlama
\( \Delta = 49 > 0 \) olduğu ve bir tam kare sayı ( \(7^2\) ) olduğu için, denklemin iki farklı rasyonel gerçek kökü vardır.
- ➡️ Adım 2: Örnek Denklem Yazma
Diskriminantı 49 yapan bir denklem oluşturmak için \( \Delta = b^2 - 4ac = 49 \) olmalıdır. Basit bir seçim yapalım: \( a = 1 \) alırsak, \( b^2 - 4c = 49 \) olur. \( b = 1 \) seçersek, \( 1 - 4c = 49 \) ve \( c = -12 \) bulunur. Bu durumda denklem: \( x^2 + x - 12 = 0 \). Kontrol edelim: \( \Delta = (1)^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49 \).
✅ Sonuç: \( \Delta = 49 \) pozitif ve tam kare olduğu için iki farklı rasyonel kök vardır. Örnek denklem: \( x^2 + x - 12 = 0 \).
