Soru:
\( h(x) = \frac{5x}{x + 2} \) fonksiyonunun tersini bulunuz ve bulduğunuz ters fonksiyonun tanım kümesini belirleyiniz.
Çözüm:
⚠️ Ters fonksiyonun tanım kümesi, orijinal fonksiyonun görüntü kümesine eşittir. Bu nedenle paydayı sıfır yapan değere dikkat edilmelidir.
- ➡️ 1. Adım: \( y = \frac{5x}{x + 2} \) yazalım.
- ➡️ 2. Adım: İçler dışlar çarpımı: \( y(x + 2) = 5x \) → \( xy + 2y = 5x \).
- ➡️ 3. Adım: \( x \)'li terimleri birleştirelim: \( xy - 5x = -2y \).
- ➡️ 4. Adım: \( x \) parantezine alalım: \( x(y - 5) = -2y \).
- ➡️ 5. Adım: \( x \)'i yalnız bırakalım: \( x = \frac{-2y}{y - 5} = \frac{2y}{5 - y} \).
- ➡️ 6. Adım: Ters fonksiyon: \( h^{-1}(x) = \frac{2x}{5 - x} \).
- 🔍 Tanım Kümesi: Orijinal fonksiyonun paydası \( x + 2 = 0 \) iken \( x = -2 \) tanımsızdır. \( h(x) \neq 5 \) olduğunu kontrol edelim. \( \frac{5x}{x+2} = 5 \) dersek, \( 5x = 5(x+2) \) → \( 5x=5x+10 \) → \( 0=10 \) (Çelişki). Demek ki \( h(x) \) hiçbir zaman 5 değerini almaz. Bu nedenle tersin tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{5\} \) olur.
✅ Sonuç: \( h^{-1}(x) = \frac{2x}{5 - x} \) ve Tanım Kümesi: \( \{ x \in \mathbb{R} | x \neq 5 \} \).
