Soru 1: Bir ABC üçgeninde [AD] kenarortay, [AE] açıortay ve [AH] yüksekliktir. |AB| = 10 cm, |AC| = 14 cm ve |BC| = 12 cm'dir. Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
a) |DC| = 6 cm'dir
b) |BE|/|EC| = 5/7'dir
c) A(ABD) = A(ADC)'dir
d) m(BAD) = m(DAC)'dir
e) |BH| ≠ |HC| olabilir
Cevap: d) Çözüm: [AD] kenarortay olduğu için |BD| = |DC| = 6 cm'dir ve üçgenin alanını iki eşit parçaya böler. [AE] açıortay olduğu için |BE|/|EC| = |AB|/|AC| = 10/14 = 5/7'dir. [AH] yükseklik iken |BH| ve |HC| farklı olabilir. Ancak [AD] kenarortay iken açıortay özelliği taşımak zorunda değildir, dolayısıyla m(BAD) = m(DAC) ifadesi genelde doğru değildir.
Soru 2: Bir ikizkenar üçgenin tabanına ait kenarortay, yükseklik ve açıortayı çizildiğinde bu üç doğru çakışık olur. ABC ikizkenar üçgeninde |AB| = |AC| = 13 cm ve |BC| = 10 cm'dir. [AD] hem kenarortay hem yükseklik hem de açıortay olduğuna göre |BD| kaç cm'dir?
a) 5
b) 6
c) 12
d) 13
e) 15
Cevap: a) Çözüm: İkizkenar üçgende tabana ait kenarortay aynı zamanda yükseklik ve açıortaydır. [AD] kenarortay olduğundan |BD| = |DC| = |BC|/2 = 10/2 = 5 cm'dir.
Soru 3: Bir ABC üçgeninde [AD] açıortaydır. |AB| = 8 cm, |AC| = 12 cm ve |BC| = 14 cm'dir. Buna göre |BD| kaç cm'dir?
a) 4,8
b) 5,6
c) 6,4
d) 7,2
e) 8,4
Cevap: b) Çözüm: Açıortay teoremine göre: |BD|/|DC| = |AB|/|AC| = 8/12 = 2/3'tür. |BD| = 2k, |DC| = 3k dersek, |BD| + |DC| = |BC| = 5k = 14 cm ⇒ k = 2,8 cm. Buradan |BD| = 2k = 2 × 2,8 = 5,6 cm bulunur.
Soru 4: Bir ABC dik üçgeninde [AH] yüksekliktir. |AB| = 15 cm, |AC| = 20 cm ve |BC| = 25 cm'dir. Buna göre |BH| kaç cm'dir?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
Cevap: d) Çözüm: Öklid bağıntılarına göre dik üçgende yüksekliğin karesi, hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımına eşittir: |AH|² = |BH| × |HC|. Ayrıca |AB|² = |BH| × |BC| ⇒ 15² = |BH| × 25 ⇒ 225 = 25 × |BH| ⇒ |BH| = 9 cm bulunur.
Üçgenlerle ilgili problemleri çözerken, üçgenin yardımcı elemanlarını (açıortay, kenarortay ve yükseklik) iyi bilmek ve bunların özelliklerini kullanmak çok önemlidir. Bu notlarda, bu elemanlarla ilgili tipik soru tiplerini ve çözüm yöntemlerini inceleyeceğiz.
Açıortay, bir üçgenin bir köşesindeki iç açıyı iki eşit parçaya bölen ve karşı kenara kadar uzanan doğru parçasıdır.
İç Açıortay Teoremi: Bir üçgende bir açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranında böler. \( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \)
Soru Tipi ve Çözüm Yöntemi: Genellikle kenar uzunlukları ve oranlar verilir, açıortayın böldüğü parçaların uzunlukları veya açıortayın kendi uzunluğu sorulur.
Örnek: ABC üçgeninde |AB| = 6 cm, |AC| = 8 cm, |BC| = 10 cm ise ve A köşesinden çıkan açıortay [BC] kenarını D noktasında kesiyorsa, |BD| ve |DC| uzunluklarını bulunuz.
Çözüm: İç Açıortay Teoremi'ni uygulayalım: \( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \) Ayrıca |BD| + |DC| = |BC| = 10 cm olduğunu biliyoruz. \( |BD| = 3k \) ve \( |DC| = 4k \) dersek, \( 3k + 4k = 10 \) → \( 7k = 10 \) → \( k = \frac{10}{7} \) Sonuç: \( |BD| = 3 \cdot \frac{10}{7} = \frac{30}{7} \) cm ve \( |DC| = 4 \cdot \frac{10}{7} = \frac{40}{7} \) cm.
Kenarortay, bir üçgenin bir köşesini, karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasıdır.
Kenarortay Teoremi (Apollonius Teoremi): Bir üçgende kenarortayın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamının yarısından, üçüncü kenarın karesinin dörtte birinin çıkarılmasına eşittir. \( V_a^2 = \frac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4} \)
Soru Tipi ve Çözüm Yöntemi: Kenar uzunlukları verilip kenarortay uzunluğu istenir veya kenarortayların kesişim noktası olan ağırlık merkezi ile ilgili problemler sorulur.
Örnek: ABC üçgeninde G ağırlık merkezidir. |AG| = 8 cm ise, A köşesinden çizilen kenarortayın tamamı kaç cm'dir?
Çözüm: Ağırlık merkezi, kenarortayı 2'ye 1 oranında böler. Yani, kenarortayın tepe noktasına yakın olan kısmı (|AG|) toplam uzunluğun 2/3'üdür. \( |AG| = \frac{2}{3} \cdot V_a \) \( 8 = \frac{2}{3} \cdot V_a \) \( V_a = 8 \cdot \frac{3}{2} = 12 \) cm.
Yükseklik, bir üçgenin bir köşesinden karşı kenara (veya bu kenarın uzantısına) çizilen dik doğru parçasıdır.
Soru Tipi ve Çözüm Yöntemi: Genellikle alan hesabı veya Pisagor Teoremi ile birlikte kullanılır. Dik üçgen özellikleri çok işe yarar.
Örnek: ABC üçgeninde |AB| = 5 cm, |AC| = 13 cm ve |BC| = 12 cm'dir. A köşesinden [BC] kenarına indirilen yüksekliğin uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm: Bu bir 5-12-13 üçgenidir ve BC kenarı 12 cm olduğu için taban olarak alınabilir. Üçgenin alanını iki şekilde hesaplayalım. 1. Yol (Dik üçgen alanı): ABC üçgeni, B açısı dik olan bir üçgendir. Alan = \( \frac{5 \cdot 12}{2} = 30 \) cm². 2. Yol (Yükseklik kullanarak): Taban = |BC| = 12 cm, Yükseklik = h dersek. Alan = \( \frac{12 \cdot h}{2} = 6h \) İki alan birbirine eşit olmalıdır: \( 6h = 30 \) → \( h = 5 \) cm.
