Soru:
Dar açılı ABC üçgeninin diklik merkezi H'dir. [AH]'nın uzantısı [BC] kenarını D noktasında, [BH]'nın uzantısı [AC] kenarını E noktasında kesmektedir. |AE| = 4 cm, |EC| = 5 cm ve |BH| = 6 cm olduğuna göre, |HE| uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
💡 Benzer üçgenlerden faydalanacağız.
- ➡️ E noktası [AC] üzerinde ve [BH] ⊥ [AC] olduğundan, BEH ve BEC dik üçgenlerini düşünebiliriz. Ancak daha pratik bir yol izleyelim.
- ➡️ Diklik merkezi ile ilgili bir özellik kullanacağız: Bir köşeden diklik merkezine olan uzaklık ile, aynı köşeden karşı kenara çizilen yüksekliğin diğer parçası arasında bir benzerlik oranı vardır. Ancak bu soruda daha doğrudan bir yaklaşım, AEC ve BEH üçgenlerinin benzerliğidir (ikisi de dik üçgendir ve bir açıları eşittir). Fakat daha garantili bir formül uygulayalım: |BH| * |HE| = |AH| * |HD| gibi bir bağıntı vardır, ancak bu soruda AH ve HD bilinmiyor.
- ➡️ Doğru yaklaşım: BHE ve ACE üçgenleri benzerdir (Açı-Açı benzerliği). m(∠BEH) = m(∠AEC) = 90° ve m(∠HBE) = m(∠CAE) (çünkü her ikisi de C açısının tümleridir).
- ➡️ Benzerlik oranını yazalım: |HE| / |AE| = |BH| / |AC|. |AC| = |AE| + |EC| = 4 + 5 = 9 cm'dir.
- ➡️ Oranı yerine koyalım: |HE| / 4 = 6 / 9 => |HE| / 4 = 2 / 3 => |HE| = (2/3) * 4 = 8/3 cm
✅ Sonuç olarak, |HE| uzunluğu 8/3 cm'dir.
