Soru:
\( \vec{p} = (2, 5) \) ve \( \vec{q} = (7, 3) \) vektörlerinin skaler (nokta/ iç) çarpımını \( \vec{p} \cdot \vec{q} \) bulunuz ve bu iki vektör arasındaki açının kosinüs değerini hesaplayınız.
Çözüm:
💡 İki vektörün skaler çarpımı, karşılıklı bileşenlerin çarpımlarının toplamına eşittir. Aradaki açının kosinüsü ise skaler çarpımın, vektörlerin uzunluklarının çarpımına bölünmesiyle bulunur.
- ➡️ 1. Adım (Skaler Çarpım): \( \vec{p} \cdot \vec{q} = (2)(7) + (5)(3) = 14 + 15 = 29 \)
- ➡️ 2. Adım (Vektörlerin Uzunlukları):
\( \|\vec{p}\| = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \)
\( \|\vec{q}\| = \sqrt{7^2 + 3^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58} \)
- ➡️ 3. Adım (Açının Kosinüsü): Skaler çarpım formülü \( \vec{p} \cdot \vec{q} = \|\vec{p}\| \|\vec{q}\| \cos\theta \) olduğundan:
\( \cos\theta = \frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{\|\vec{p}\| \|\vec{q}\|} = \frac{29}{\sqrt{29} \times \sqrt{58}} \)
- ➡️ 4. Adım (Sadeleştirme): Paydayı sadeleştirelim.
\( \cos\theta = \frac{29}{\sqrt{29 \times 58}} = \frac{29}{\sqrt{1682}} \)
1682 = 29 * 58 olduğunu görebiliriz.
\( \cos\theta = \frac{29}{\sqrt{29 \times 58}} = \frac{29}{\sqrt{29} \times \sqrt{58}} = \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{58}} = \sqrt{\frac{29}{58}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
✅ Sonuçlar:
Skaler Çarpım: \( 29 \)
Açının Kosinüsü: \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) (Bu da \( \theta = 45^\circ \) olduğunu gösterir.)
